Fraksjonskropp

Fraksjonskroppen eller brøkkroppen til ein heiltalsring R er den minste kroppen som har R som ein underring. Til dømes er kroppen $\mathbb {Q}$ av rasjonelle tal brøkkroppen til heiltalsringen $\mathbb {Z}$ av heiltal; me skriv $\mathbb {Q} ={\frac {\mathbb {Z} }{\mathbb {Z} -\{0\}}}=\{{\frac {m}{n}}:m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} -\{0\}\}$.

Konstruksjonen av ein fraksjonskropp

La R vera ein kommutativ ring med additiv identitet 0. Då er mengda $S=R-\{0\}$ multiplikativt lukka. Me definerer ein ekvivalensrelasjon ~ på $R\times S$ slik at :$(a,s)$ ~ $(b,t)$ dersom og berre dersom $at=bs$. Vidare let me ${\frac {a}{s}}$ vera ekvivalensklassa til $(a,s)$. Då er $K=\{{\frac {a}{s}}:a\in R,b\in S\}$ fraksjonskroppen til R, med operasjonane

${\frac {a}{s}}+{\frac {b}{t}}={\frac {at+bs}{st}}$ og

${\frac {a}{s}}\cdot {\frac {b}{t}}={\frac {ab}{st}}$

og nullelement 0/1 og multiplikativ identitet 1/1.