Generelle fourierrekkjer

Generelle fourierrekkjer har i matematisk analyse vist seg å vere nyttige. Dei er alle spesialtilfelle av dekomponeringar ove rein ortonormal base av eit indre produktrom. Her ser ein på kvadratingrerbare funksjonar definert på eit intervall med reelle tal, som mellom anna er viktig for interpolasjonsteori.

Definisjon endre

Ein tenkjer seg eit sett med kvadratintegrerbare funksjonar med verdiar i F=C eller R,

 

som er parvise ortogonale for det indre produktet.

 

der w(x) er ein vektfunksjon og   representerer kompleks konjugering complex conjugation, til dømes   for F=R.

Den generelle fourierrekkja til ein kvadratintegrerbar funksjon f: [a, b] → F, med omsyn til Φ, vert då

 

der koeffisientane er

 


Døme endre

Legendre-polynoma er løysingar til Sturm–Liouville-problem

 

og på grunn av denne teorien er desse polynoma eigenfunksjonar til problemet og er løysingar ortogonale med omsyn til det indre produktet over med einingsvekt. Så vi kan lage ei generelle fourierrekkje (kalla Fourier–Legendre-rekkje) som omfattar legendre-polynom og

 
 

Som eit døme, la oss rekne ut Fourier–Legendre-rekkja for ƒ(x) = cos x over [−1, 1]. No er

 

og ei rekkje omfattar desse ledda

 
 

som skil seg frå cos x med om lag 0.003, om 0. Det kan vere nyttig å nytte slike Fourier–Legendre-rekkjer sidan eigenfunksjonane alle er polynom og dermed integral. Slik vert koeffisientane enklare å rekne ut.

Koeffisientteorem endre

Somme teorem om koeffisientane cn er mellom anna:

Bessel-ulikskapen endre

 

Parseval-teoremet endre

Om Φ er eit komplett sett

 

Kjelder endre