Kardioide

Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad.

Ein kardioide skapt av ein rullande sirkel.

Likningar

Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:

$x=a(2\cos t-\cos 2t),\,$

$y=a(2\sin t-\sin 2t).\,$

I det komplekse planet vert dette

$z=a(2e^{it}-e^{2it}).\,$

Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved

$(z{\bar {z}}-a^{2})^{2}-4a^{2}(z-a)({\bar {z}}-a)=0$

eller i rektangulære koordinatar,

$(x^{2}+y^{2}-a^{2})^{2}-4a^{2}((x-a)^{2}+y^{2})=0.\,$

Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:

$x=a(1+2\cos t+\cos 2t),\,$

$y=a(2\sin t+\sin 2t),\,$

eller i det komplekse planet,

$z=a(1+2e^{it}+e^{2it})=a(1+e^{it})^{2}.\,$

Med å erstatte u=tan t/2,

$e^{it}={\frac {1+iu}{1-iu}},$

gjeve ei rasjonal parametrisering:

$z={\frac {4a}{(1-iu)^{2}}},$

or

$x={\frac {4a(1-u^{2})}{(1+u^{2})^{2}}},$

$y={\frac {8au}{(1+u^{2})^{2}}}.$

Denne parametriseringa kan òg skrivast

$z=e^{it}2a(1+\cos t),\,$

og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som

$r=2a(1+\cos \theta )\,$

der θ erstattar parameteren t. Dette kan òg skrivast

$r=4a\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}\,$

som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.

I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden

$\left(x^{2}+y^{2}-2ax\right)^{2}=4a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).\,$

Metriske eigenskapar

Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:

$A=6\pi a^{2}\,$

eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.

Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er

$L=16a.\,$.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Cardioid» frå Wikipedia på engelsk, den 14. september 2011.