Cassinis oval

Cassinis oval er ei kjend plankurve av fjerde grad, definert som ei mengd (eller geometriske stader) i planet slik at produktet av avstanden til to faste punkt er konstant. Dette er knytt til ein ellipse, der summen av avstandane er konstant, og ikkje produktet. Eit spesialtilfelle av kurva er lemniskaten. Kurva vart først studert av den italiensk-franske astronomen Giovanni Domenico Cassini.

Nokre Cassini-ovalar. (b=0.6a, 0.8a, a, 1.2a, 1.4a, 1.6a)

Formell definisjon

Lat q₁ og q₂ vere to faste punkt i planet og la b vere ein konstant. Då er ein Cassini-oval med brennpunkt q₁ og q₂ er definrt til å vere brennpunktet for p slik at produktet av avstanden frå p til q₁ og avstanden frå p til q₂ er b². Det gjeld om me definerer ein funksjon avst(x,y) til å vere avstanden frå eit punkt x til eit punkt y, for alle punkt p på ein Cassini-oval til å tilfredsstille likninga

$\operatorname {avst} (q_{1},p)\times \operatorname {avst} (q_{2},p)=b^{2}.\,$

Likningar

Om brennpunkta er (a, 0) og (−a, 0), så er likninga for kurva

$((x-a)^{2}+y^{2})((x+a)^{2}+y^{2})=b^{4}.\,$

Utvida vert dette

$(x^{2}+y^{2})^{2}-2a^{2}(x^{2}-y^{2})+a^{4}=b^{4}.\,$

Den ekvivalente polarlikninga er

$r^{4}-2a^{2}r^{2}\cos 2\theta =b^{4}-a^{4}.\,$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Cassini oval» frå Wikipedia på engelsk, den 16. september 2011.