Definisjon
endre
La
c
i
{\displaystyle c_{i}}
vera kontrollpunkta til kurva.
Det initielle steget i algoritmen er:
c
i
0
=
c
i
{\displaystyle c_{i}^{0}=c_{i}}
For kvar
r
=
{
1
,
.
.
n
}
{\displaystyle r=\{1,..n\}}
reknar ein ut[1] :
c
i
r
=
(
1
−
t
)
c
i
r
−
1
+
t
c
i
+
1
r
−
1
{\displaystyle c_{i}^{r}=(1-t)c_{i}^{r-1}+tc_{i+1}^{r-1}}
Der
i
=
{
0
,
1
,
.
.
,
n
−
r
}
{\displaystyle i=\{0,1,..,n-r\}}
.
Algoritmen kan illustrerast ved ein trestruktur. Første kolonnen utgjer verdiane for
c
i
0
{\displaystyle c_{i}^{0}}
, altså dei initielle verdiane til algoritmen. Andre kolonnen er resultatet av første iterasjon av algoritmen. Det siste punktet algoritmen reknar ut er
c
0
n
=
p
(
t
)
{\displaystyle c_{0}^{n}=p(t)}
, altså den siste kolonnen. Dette svarar til bézier-kurva av grad n.
c
0
=
c
0
(
0
)
c
0
(
1
)
c
1
=
c
1
(
0
)
⋱
⋮
⋮
c
0
(
n
)
c
n
−
1
=
c
n
−
1
(
0
)
c
n
−
1
(
1
)
c
n
=
c
n
(
0
)
{\displaystyle {\begin{matrix}c_{0}&=c_{0}^{(0)}&&&\\&&c_{0}^{(1)}&&\\c_{1}&=c_{1}^{(0)}&&&\\&&&\ddots &\\\vdots &&\vdots &&c_{0}^{(n)}\\&&&&\\c_{n-1}&=c_{n-1}^{(0)}&&&\\&&c_{n-1}^{(1)}&&\\c_{n}&=c_{n}^{(0)}&&&\\\end{matrix}}}
Kvar
c
i
r
{\displaystyle c_{i}^{r}}
er i seg sjølv ei bézierkurve med grad
r
{\displaystyle r}
.
Me går ut i frå tre kontrollpunkt
c
0
,
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}
.
c
0
(
0
)
=
c
0
,
c
1
(
0
)
=
c
1
,
c
2
(
0
)
=
c
2
{\displaystyle c_{0}^{(0)}=c_{0},\qquad c_{1}^{(0)}=c_{1},\qquad c_{2}^{(0)}=c_{2}}
Første iterering:
c
0
(
1
)
=
c
0
(
0
)
(
1
−
t
0
)
+
c
1
(
0
)
t
0
=
c
0
(
1
−
t
0
)
+
c
1
t
0
{\displaystyle c_{0}^{(1)}=c_{0}^{(0)}(1-t_{0})+c_{1}^{(0)}t_{0}=c_{0}(1-t_{0})+c_{1}t_{0}}
c
1
(
1
)
=
c
1
(
0
)
(
1
−
t
0
)
+
c
2
(
0
)
t
0
=
c
1
(
1
−
t
0
)
+
c
2
t
0
{\displaystyle c_{1}^{(1)}=c_{1}^{(0)}(1-t_{0})+c_{2}^{(0)}t_{0}=c_{1}(1-t_{0})+c_{2}t_{0}}
Andre og siste iterering:
c
0
(
2
)
=
c
0
(
1
)
(
1
−
t
0
)
+
c
1
(
1
)
t
0
{\displaystyle c_{0}^{(2)}=c_{0}^{(1)}(1-t_{0})+c_{1}^{(1)}t_{0}}
=
c
0
(
1
−
t
0
)
(
1
−
t
0
)
+
c
1
t
0
(
1
−
t
0
)
+
c
1
(
1
−
t
0
)
t
0
+
c
2
t
0
t
0
{\displaystyle =c_{0}(1-t_{0})(1-t_{0})+c_{1}t_{0}(1-t_{0})+c_{1}(1-t_{0})t_{0}+c_{2}t_{0}t_{0}}
=
c
0
(
1
−
t
0
)
2
+
c
1
2
t
0
(
1
−
t
0
)
+
c
2
t
0
2
{\displaystyle =c_{0}(1-t_{0})^{2}+c_{1}2t_{0}(1-t_{0})+c_{2}t_{0}^{2}}
Som er bézier-kurva av grad 2 funnen ut i frå dei gjevne kontrollpunkta
c
0
,
c
1
,
c
2
{\displaystyle c_{0},c_{1},c_{2}}
.
↑ «Bezier» , www.it.hiof.no , henta 9. oktober 2019