Rasjonal funksjon

I matematikken er ein rasjonal funksjon, ein funksjon som kan skrivast som eit forhold mellom to polynomfunksjonar.

Definisjon

Ein funksjon med ein variabel, x, kan definerast ved denne forma:

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}

der P og Q er polynomfunksjonar i x, og Q ikkje er ein nullfunksjon(f(x) = 0 ). Definisjonsmengda av f er mengda av alle punkta x der nemnaren Q(x) ikkje er null.

Viss x ikkje er ein variabel, men ubestemt, snakkar ein om rasjonale uttrykk istaden for rasjonale funksjoner. Skilnaden mellom desse to omgrepa er berre viktig i abstrakt algebra.

Ei rasjonal likning er ei likning med to rasjonelle uttrykke som er sett lik kvarandre. Desse uttrykka følgjer dei same reglane som ein brøk. Likningane kan løysast med kryss-multiplisering. Deling med 0 er udefinert, så ei løysing som fører til formell divisjon på null vil bli forkasta.

Døme

Rasjonal funksjon av 3.grad :
y = (x^3-2x)/(2(x^2-5))

Den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ (sjå figuren til høgre) er ikkje definert på $x^{2}=5\leftrightarrow x=\pm {\sqrt {5}}$ .

Den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{2}+2}{x^{2}+1}}$ er definert for alle reelle tal, men ikkje for alle komplekse tal, sidan viss x hadde vore pluss eller minus kvadratroten til minus 1, ville formell evaluering føre til divisjon på null.

Grenseverdien for den rasjonale funksjonen $f(x)={\frac {x^{3}-2x}{2(x^{2}-5)}}$ etter kvart som x nærmar seg uendeleg ${\frac {x}{2}}$ .

Ein konstant funksjon som f(x) = π er ein rasjonal funksjon sidan konstantar er polynom. Sjølv om f(x) er irrasjonal for alle x, merk at det er funksjonen som er rasjonal, ikkje nødvendigvis verdiane av funksjonen.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Rasjonal funksjon» frå Wikipedia på bokmål, den 20. september 2011.