Kardioide er ei «hjarteforma» algebraisk kurve av 4. grad.

Ein kardioide skapt av ein rullande sirkel.

LikningarEndra

Basert på skildringa av ein rullande sirkel kring ein fast sirkel, der begge sirklane har radius a, kan kardioiden skildrast av dei parametriske likningane:

 
 

I det komplekse planet vert dette

 

Her er a radiusen til sirkelen som skapar kurven, og den faste sirkelen er sentrert ved origo. Punktet som skapar kurven rører den faste sirkelen ved (a, 0), toppunktet. Parameteren t kan eliminerast ved

 

eller i rektangulære koordinatar,

 


Desse likningane kan forenklast noko med å flytte den faste sirkelen til høgre a einignar og velje punktet på den rullande sirkelen slik at han rører den faste sirkelen i origo. Dette endrar orienteringa til kurven slik at toppunktet vert til venstre. Dei parametriske likningane vert då:

 
 

eller i det komplekse planet,

 

Med å erstatte u=tan t/2,

 

gjeve ei rasjonal parametrisering:

 

or

 
 

Denne parametriseringa kan òg skrivast

 

og i denne forma er det tydeleg at likninga for denne kardioiden kan skrivast i polarkoordinatar som

 

der θ erstattar parameteren t. Dette kan òg skrivast

 

som impliserer at kurven er eit medlem av familien av sinusforma spiralar.

I kartesiske koordinatar vert likninga for kardioiden

 

Metriske eigenskaparEndra

Arealet til flata til kardioden kan reknast ut frå polarlikninga:

 

eller 6 gonger arealet til sirkelen som skapte kurven.

Bogelengden til kardioden kan reknast ut nøyaktig, noko som er sjeldant for algebraiske kurver. Den totale lengda er

 .

KjelderEndra

BakgrunnsstoffEndra