Lagrangemekanikk

Lagrangemekanikk er ei formulering av klassisk mekanikk introdusert av Joseph Louis Lagrange i 1788. Saman med Hamiltonmekanikk vert dette òg kalla analytisk mekanikk. Formuleringa er meir abstrakt enn newtonsk mekanikk og skildrar fysiske system ved hjelp av lagrangefunksjonen som er ein funksjonal av eit sett variablar og deira deriverte. Rørslelikningane (Euler-Lagrange-likningane) til systemet vert avgjort ved å minimere verknaden, dvs. minimere integralet av lagrangefunksjonen langs ein gjeven veg.

Lagrangemekanikk fungerer i alle system der den mekaniske energien er bevart, til dømes klassisk gravitasjon og elektromagnetisme, men må modifiserast visst det er varmetap til dømes ein bil som bremsar.

Lagrangemekanikk fungerer i vilkårlege koordinatsystem, medan Newtons lover i utgangspunktet berre gjeld i ikkje-akselererte koordinatsystem. Lagrangeformalisme er òg sentral i kvantemekanikk og er eit bindeledd mellom klassisk mekanikk og kvantemekanikk. Viktige er òg bevaringslovene som kan vert utleidd ved hjelp av Noethers teorem.

For kontinuerlege system vert lagrangefunksjonen generalisert til ein lagrangetettleik.

Euler-Lagrange-likningane

Lagrangefunksjonen er definert som

$L[q(t),{\dot {q}}(t)]=T-V\,$

der T er kinetisk energi, V er potensiell energi, q er ein generalisert koordinat og ${\dot {q}}$ er den tidsderiverte. Variabelen og den deriverte til denne definerer ein veg i faserommet, dvs. $(q(t),{\dot {q}}(t))$. Verknaden langs denne vegen er gjeven ved

$S[q]=\int \limits _{t_{0}}^{t_{1}}~L[q(t),{\dot {q}}(t)]dt\,$

Rørslelikningane til systemet finne in ved at verknaden er minimal (òg kalla Hamiltons prinsipp). Vi krev at den funksjonalderiverte av verknaden med respekt på koordinatane er null, dvs.

${\frac {\delta S[q(t)]}{\delta q(t)}}=0\,$

Dette gjev for systemet med n friheitsgradar Euler-Lagrange-likningane

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,$

For ei mengd generaliserte koordinatar q = (q₁, q₂, ..., q_n) får ein éi likning per koordinat, q_i. Desse likningane skildrar den klassiske rørsla til systemet.

Kvantemekanikk

Kvantemekanikk kan òg formulerast ved hjelp av Lagrangefunksjonen. Richard Feynmans vegintegralformalisme bygger på verknaden som den sentrale storleiken. Men i staden for å krevje minimal verknad, som ville gjeve klassiske rørslelikningar, summerast det over all mogelege vegar. Dette kallast kvantisering ved hjelp av vegintegral. Fordelen med Lagrangefunksjonar er at dei er lorentzinvariante, dvs. dei er kompatible med relativitetsteorien til Albert Einstein. For kvantiseringa i krumme rom, dvs. generell relativitetsteori, er veigintegraler einaste mogelegheit.

Sjå òg

• Analytisk mekanikk
• Hamiltonmekanikk
• Lagrangefunksjon
• Euler-Lagrange-likning
• Hamiltons prinsipp
• Noethers teorem

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Lagrangemekanikk» frå Wikipedia på bokmål, den 18. mai 2013.