Lax–Milgram-teoremet

Innan matematikk er Lax-Milgram-teoremet er eit teorem innan teorien for Hilbertrom. Teoremet seier når ein bilineær form kan "inverterast". Teoremet er særleg nyttig innan teorien for partielle differensiallikningar, og ligg til grunn for mykje av den matematiske teorien for elementmetoden.

Bakgrunn og definisjonar

Ei bilineær form på eit Hilbertrom, H. Er ein funksjon $B:H\times H\to \mathbb {R}$ slik at den er lineær i både første og andre argument. Altså at

$B(\alpha x+\beta y,z)=\alpha B(x,z)+\beta B(y,z)$

$B(x,\alpha y+\beta z)=\alpha B(x,y)+\beta B(x,z)$

for alle $x,y,z\in H,\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {R}$.

Vi seier at ei slik form er tvungen nedanfrå dersom det finnes ein konstant M>0 slik at

$\left\vert B(u,u)\right\vert \geq M\lVert u\rVert ^{2}$

for alle $u\in H$.

Vi seier til slutt at formen er kontinuerlig dersom det finnes en konstant C>0 slik at

$\left\vert B(u,v)\right\vert \leq C\lVert u\rVert \lVert v\rVert$

for alle $u,v\in H$.

Teoremet

La B være ei bilineær, kontinuerlig form over eit reelt Hilbertrom H, der B er tvungen nedanfrå. Gitt $l\in H'$, finnes det ein unik $h\in H$ slik at $B(h,u)=l(u)$ for alle $u\in H$.