Eigenfunksjon

Ein eigenfunksjon er i matematikk ein lineær operator A, definert for eit funksjonsrom, som gjer at funksjonen f, som er ulik null i det same funksjonsrommet, kjem ut akkurat slik han var før ein utførte operasjonen. Unntaket er for ein multiplikativ skaleringsfaktor. Meir presist kan ein uttrykke dette som:

Denne løysinga for vibrasjonar på ei sirkulær tromme er, til ei kvar tid, ein eigenfunksjon av laplaceoperatoren til disken.

${\mathcal {A}}f=\lambda f$

for ein skalar, λ, den tilhøyrande eigenverdien. Løysinga på det differensielle eigenverdiproblemet er òg avhengig av grensevilkåra som $f$ krev. I kvart tilfelle er det berre visse eigenverdiar $\lambda =\lambda _{n}$ ($n=1,2,3,...$) som tillet ei samsvarande løysing for $f=f_{n}$ (med kvar $f_{n}$ tilhøyrande eigenverdien $\lambda _{n}$) i kombinasjon med grensevilkåra. Eksistensen til eigenfunksjonane er ofte den mest innsiktsfulle måten å analysere $A$ på.

Til dømes er $f_{k}(x)=e^{kx}$ ein eigenfunksjon for differensialoperatoren:

${\mathcal {A}}={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {d}{dx}}$

for alle verdiar av $k$ med ein samsvarande eigenverdi $\lambda =k^{2}-k$. Om grensevilkåra gjeld for dette systemet (t.d., $f=0$ ved to fysiske stader i rommet), så kan berre visse verdiar av $k=k_{n}$ tilfredsstille grensevilkåra, og ein får samsvarande diskrete eigenverdiar $\lambda _{n}=k_{n}^{2}-k_{n}$.

For signal og system er eigenfunksjonen til eit system det signalet $f(t)$ som ein puttar inn i systemet og som gjev svaret $y(t)=\lambda f(t)$ med den komplekse konstanten $\lambda$.

Eigenfunksjonar spelar ei viktig rolle i mange greiner innan fysikken, til dømes kvantemekanikk.

Sjå òg

• Eigenverdi, eigenvektor og eigerom

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Eigenfunction» frå Wikipedia på engelsk, den 30. november 2009.