Episykloide

Ein episykloide er den kurva som vert teikna av eit punkt på ein sirkel, når sirkelen rullar utvendig på ein fast sirkel. På tilsvarande måte er ein hyposykloide den kurva ein får når sirkelen rullar innvendig den faste sirkelen.

Den raude kurva er ein episykloide ein får når den vesle sirkelen (radius r = 1) rullar rundt utsida av den store sirkelen (radius R = 3).

I det ptolemeiske verdssystemet nytta ein episykloidar til å skildre planetbanane, kalla ein episykel. Episykloidar og hyposykloidar er òg viktig for konstruksjon av somme tannhjulsoverføringar.

Om den minste sirkelen har radius r, og den større sirkelen har radius R = kr, så er den parametriske likninga for kurven gjeven av anten:

$x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right),$

eller:

$x(\theta )=r(k+1)\cos \theta -r\cos \left((k+1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k+1)\sin \theta -r\sin \left((k+1)\theta \right).\,$

Viss k er eit heiltal, så er kurven lukka, og har k toppunkt (skarpe kantar der kurva ikkje er differensierbar).

Viss k er eit rasjonalt tal, som k=p/q uttrykkst på den enklaste forma, så har kurven p toppunkt.

Viss k er eit irrasjonalt tal, så lukkar aldri kurva seg, og dannar ei kompakt delmengd i rommet mellom den større sirkelen og ein sirkel med radius R + 2r.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Epicycloid» frå Wikipedia på engelsk, den 10. november 2011.

• episykloide. (2011-11-10) I Store norske leksikon. Henta frå http://snl.no/episykloide