Hyposykloide

Ein hyposykloide er i matematikk ei kurve som vert skildra av eit punkt på ein sirkel når sirkelen rullar langs innsida av ein annan sirkel.

Den raude kurva er hyposykloiden som oppstår når den mindre svarte sirkelen rullar langs insida av den større blå sirkelen.

Eigenskapar

Om den mindre sirkelen har radius r, og den større sirkelen har radius R = kr, så er den parametriske likninga for kurven gjeven av anten :

$x(\theta )=(R-r)\cos \theta +r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right)$

$y(\theta )=(R-r)\sin \theta -r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\theta \right),$

eller:

$x(\theta )=r(k-1)\cos \theta +r\cos \left((k-1)\theta \right)\,$

$y(\theta )=r(k-1)\sin \theta -r\sin \left((k-1)\theta \right).\,$

Om k er eit heiltal så er kurva lukka, og har k toppunkt (til dømes spisse hjørne, der kurva ikkje er differensierbar). Spesifikt for k=2 er kurva ei rett linje og sirklane vert kalla Cardanosirklar. Girolamo Cardano var den første til å skildre desse hyposykloidane, som vart nytta i teknologien for raske trykkpresser.

Om k er eit rasjonalt tal, som k = p/q uttrykket på enklast vis, så har kurven p toppunkt.

Om k er eit irrasjonalt tal, så lukkar aldri kurven seg, og fyller rommet mellom den større sirkelen og ein sirkel med radius R − 2r.

Døme

• Døme på hyposykloidar
• 
  k=3 - ein deltoide
• 
  k=4 - ein astroide
• 
  k=5
• 
  k=6
• 
  k=2,1
• 
  k=3,8
• 
  k=5,5
• 
  k=7,2

Sjå òg

• Episykloide

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hypocycloid» frå Wikipedia på engelsk, den 18. september 2011.