Eulerlikningane

Eulerlikningane styrer rørsla til ei kompressibel og ikkje-viskøs væske i væskedynamikken. Likningane er ei enklare form av Navier-Stokeslikningane med null viskositet og varmekonduksjon, men vert vanlegvis skrive slik som her, fordi dei direkte representerer bevaring av masse, rørslemengd og energi. Likningane har fått namn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenkjer vi oss at den klassiske mekanikken gjeld, sjå relativistiske Eulerlikningar for ein diskusjon av kompressible væsker når farten nærmar seg lysfarten.

På differensial form er likningane:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

${\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\mathbf {u} +\nabla p=0$

${\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0$

der $E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2$ er den totale energien per volum ($e$ er den indre energien per masse for væska), $p$ er trykket, $u$ er farten til væska og $\rho$ tettleiken. Den andre likninga inkluderer divergens av ein binær tensor, og er kanskje klårare i indeksnotasjon:

${\partial \rho u_{j} \over \partial t}+{\partial \rho u_{i}u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0$

Merk at likningane over er uttrykt på bevaringsform, sidan denne forma legg vekt på det fysiske opphavet deira (og er den enklaste forma for datasimuleringar av væskedynamikk). Rørslemengdkomponenten i Eulerlikningane vert vanlegvis uttrykt som:

$\rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0$

men denne forma skjuler den direkte samanhengen mellom Eulerlikningane og Newton si andre rørslelikning (særleg er det ikkje intuitivt kvifor denne likninga er korrekt og $\left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u} })+\nabla p=0$ ikkje er korrekt).

I bevaringsvektorform vert Eulerlikningane

${\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0$

der

$U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad$

Denne forma syner at $F,G,H$ er fluksar.

Likninga over representerer altså bevaring av masse, tre komponentar av rørslemengd, og energi. Det er derimot fem likningar og seks ukjende. For å få ei lukka problemstilling må ein bruke tilstandslikninga, og den mest vanlege forma av denne er den ideelle gasslova (t.d. $p=\rho (\gamma -1)e$, der ρ er tettleiken, γ er ein adiabatisk indeks, og e den indre energien).

Det ekstra leddet som har med p kan tolkast som det mekaniske arbeidet som eit væskeelement gjer på væskeelementa rundt. Desse ledda vert summert opp til null i ei inkompressibel væske.

Den meir kjende Bernoullilikninga kan utleiast ved å integrere Eulerlikningane langs ei straumlinje, viss ein set tettleiken til å vere konstant.