Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess

Gram–Schmidts ortogonaliseringsprossess er ein algoritme for å generera ein ortonormalisert basis (ortogonal basis med norm 1) frå ei gjeven mengde vektorar knytte til eit indreproduktrom med eit gjeve skalarprodukt .

Metoden vart oppkalla etter Erhard Schmidt og Jørgen Pedersen Gram, sjølv om han tidlegare vart teken i bruk i verka til Laplace og Cauchy.

Han vert nytta i dei høva ein ønskjer ein ortonormal/ortogonal basis. Å finna QR-faktoriseringa av ei matrise er i røynda Gram-Schmidts ortogonaliseringsprossess.

AlgoritmeEndra

Algoritmen er basert på definisjonen av projeksjonar. Ein projeksjon er definert som;

 

La   vera resulatet av algoritmen, altså den ortonormale basisen. La   vera vektorane det skal konstruerast ein ortonormal basis av. Ein let   og normaliserer vektoren. Vidare vert vektoren   projektert på vektoren  . Ut i frå dette vert  vektoren som står ortogonalt på denne projeksjonen, altså  . Vidare vert   projektert på flata utspend av   og  . Vektoren som står ortogonalt på denne flata er  . Med andre ord så vert  . Slik held algoritmen fram til ein har konstruert ein ortonormal basis.

Heile algoritmen kan oppsummerast stegvis som

   
   
   
   
   

For kvart steg vert vektoren  normalisert.

KjelderEndra