Konstruksjon i matematikk

I geometri er konstruksjon det å konstruere linjestykke og vinklar med passar og linjal. Linjalen vert rekna som uendeleg lang, men har ingen merke som kan nyttast til å måle lengder. Konstruksjonar blir utført ved å bruke følgjande operasjonar:

  • Lage linja som går gjennom to eksisterande punkt.
  • Lage ein sirkel som går gjennom eit punkt og som har sentrum i eit anna punkt.
  • Lage skjeringspunktet til to ikkje-parallelle linjer.
  • Lage eit eller to punkt som er skjeringspunkt mellom ei linje og ein sirkel.
  • Lage eit eller to punkt som er skjeringspunkt mellom to sirklar.
Konstruksjon av ein regulær sekskant
Konstruksjon av ein regulær femkant

Umoglege konstruksjonarEndra

Ikkje alle vinklar er moglege å konstruere. Spesielt tre problem som ein i oldtida prøvde å løyse vart vist uløyselege på 1800-talet.

Kvadraturen til sirkelenEndra

Gjeve ein sirkel, konstruer eit kvadrat med same areal. Dette er umogleg sidan det krev at ein konstruerer eit transcendentalt tilhøve, nemleg π-1/2, medan berre algebraiske tilhøve kan konstruerast.

Fordoblinga av kubenEndra

Gjeve ein kube, konstruer ein annan kube med det dobbelte volumet. Viss den opphavlege kuben har sidelengd 1, så vil ein kube med det dobbelte volumet ha sidelengd  . Sidan dette ikkje er eit konstruerbart tal, er dette umogleg.

Tredelinga av ein vinkelEndra

Gjeve ein vilkårleg vinkel, konstruer ein vinkel som er ein tredjedel av den opphavlege vinkelen. Viss det hadde vore mogleg, ville ein ha kunna konstruere ein vinkel med 60°, tredele denne så ein får ein vinkel på 20°, og deretter konstruere eit linjestykke med lengd cos(20°). Dette er heller ikkje eit konstruerbart tal, så det følgjer at det ikkje er mogleg å tredele ein vinkel.


Tredeling av eit linjestykkeEndra

 
Tredeling av eit linjestykke

Ein kan dele eit linjestykke i tre ved å bruke ei hjelpelinje(sjå biletet). Trekk ein stråle frå punktet A med valfri vinkel og lengd. Del så denne strålen i tre like store linjestykke. Dei tre linjestykka, AE, ED og DC utgjer då linjestykket AC. Trekk ei linje mellom punkta C og B. Konstruer parallellen til CB frå punktet D, og trekk denne gjennom AB. Kall skjeringspunktet F. BF er ein tredjedel av AB. Bruk lengda BF til å markere det siste punktet.




KjelderEndra