Lagrangepolynom innanføre numerisk analyse vert nytta til polynominterpolasjon . For ei gjeven mengde datapunkt
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
j
,
y
j
)
,
…
,
(
x
n
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
polynomet av lågaste orden med verdiane
f
(
x
i
)
=
y
i
{\displaystyle f(x_{i})=y_{i}}
i
=
{
0
,
⋯
,
n
}
{\displaystyle i=\{0,\cdots ,n\}}
Denne typen interpolasjon er utsett for Runges fenomen når datapunkta er likt fordelte. Då vil feilen på interpoleringa auka og faktisk divergera når ein aukar ordenen på funksjonen.
Gjeve ei mengde av datapunkt som ein ønskjer å interpolera:
(
x
0
,
y
0
)
,
…
,
(
x
j
,
y
j
)
,
…
,
(
x
n
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{n},y_{n})}
Interpolasjonspolynomet på lagrangeform er definert som ein lineærkombinasjon av lagrangebasispolynom.
p
(
x
)
=
∑
k
=
0
n
y
k
⋅
L
k
(
x
)
{\displaystyle p(x)=\sum _{k=0}^{n}y_{k}\cdot L_{k}(x)}
Her er
L
j
(
x
i
)
{\displaystyle L_{j}(x_{i})}
dirac delta funksjon :
L
k
(
x
i
)
=
δ
k
i
=
{
1
,
if
k
=
i
0
,
if
k
≠
i
{\displaystyle L_{k}(x_{i})=\delta _{ki}={\begin{cases}1,&{\text{if }}k=i\\0,&{\text{if }}k\neq i\end{cases}}}
Dette er så ein verdi x vert avbilda nøyaktig til
y
k
{\displaystyle y_{k}}
L
k
(
x
)
=
∏
j
=
0
,
j
≠
k
n
x
−
x
j
x
k
−
x
j
{\displaystyle L_{k}(x)=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}}
Lagrangebasispolynom
endre
L
k
(
x
i
)
=
δ
k
i
=
{
1
,
if
k
=
i
0
,
if
k
≠
i
{\displaystyle L_{k}(x_{i})=\delta _{ki}={\begin{cases}1,&{\text{if }}k=i\\0,&{\text{if }}k\neq i\end{cases}}}
Ein ser ved litt rekning at desse eigenskapane
L
k
(
x
i
)
=
0
{\displaystyle L_{k}(x_{i})=0}
L
k
(
x
k
)
=
1
{\displaystyle L_{k}(x_{k})=1}
L
k
(
x
i
)
=
∏
j
=
0
,
j
≠
k
n
x
i
−
x
j
x
k
−
x
j
=
(
x
i
−
x
0
)
(
x
k
−
x
0
)
⋯
(
x
i
−
x
i
)
(
x
k
−
x
i
)
⋯
(
x
i
−
x
n
)
(
x
k
−
x
n
)
=
0
{\displaystyle L_{k}(x_{i})=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x_{i}-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}={\frac {(x_{i}-x_{0})}{(x_{k}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x_{i}-x_{i})}{(x_{k}-x_{i})}}\cdots {\frac {(x_{i}-x_{n})}{(x_{k}-x_{n})}}=0}
Her er
L
k
(
x
i
)
=
0
{\displaystyle L_{k}(x_{i})=0}
(
x
i
−
x
i
)
{\displaystyle (x_{i}-x_{i})}
L
k
(
x
k
)
=
∏
j
=
0
,
j
≠
k
n
x
k
−
x
j
x
k
−
x
j
=
(
x
k
−
x
0
)
(
x
k
−
x
0
)
⋯
(
x
k
−
x
j
−
1
)
(
x
k
−
x
j
−
1
)
(
x
k
−
x
j
+
1
)
(
x
k
−
x
j
+
1
)
⋯
(
x
k
−
x
n
)
(
x
k
−
x
n
)
=
1
{\displaystyle L_{k}(x_{k})=\prod _{j=0,j\neq k}^{n}{\frac {x_{k}-x_{j}}{x_{k}-x_{j}}}={\frac {(x_{k}-x_{0})}{(x_{k}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x_{k}-x_{j-1})}{(x_{k}-x_{j-1})}}{\frac {(x_{k}-x_{j+1})}{(x_{k}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x_{k}-x_{n})}{(x_{k}-x_{n})}}=1}
Teljarane i
L
k
(
x
)
{\displaystyle L_{k}(x)}
x
k
{\displaystyle x_{k}}
Nemnarane er definerte som dei er berre for normalisering, sånn at
L
k
(
x
k
)
{\displaystyle L_{k}(x_{k})}
