Virvlingslikninga

Virvlingslikninga er ei viktig prognostisk likning i atmosfærevitskap. Virvling er ein vektor og består derfor av tre komponentar. Virvlingslikninga skildrar den materialderiverte (dvs. den lokale endringa på grunn av lokale endringar med tid og adveksjon) av virvling, og kan derfor uttrykkast i anten ei relativ eller ei absolutt form.

Den meir kompakte utgåva er for den absolutte virvlinga, komponenten $\eta$ , ved å nytte trykksystemet:

{\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{h}\cdot \mathbf {v} _{h}-\left({\frac {\partial \omega }{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial \omega }{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot (\nabla _{h}p\times \nabla _{h}\rho )

Her er $\rho$ tettleik, u, v og $\omega$ er vindkomponentar i dei to horisontale og den vertikale retninga, og $\nabla _{h}$ er den todimensjonale (t.d. berre den horisonatale komponenten) nablaen.

Uttrykket på høgresida syner positiv eller negativ skaping av absolutt virvling ved luftdivergens, vriding av rotasjonsaksen og baroklinitet.

Væskedynamikk

Virvlingslikninga skildrar utviklinga av virvling $({\vec {\omega }})$ av eit væskeelement som flyttar på seg. Virvlingslikninga kan utleiast frå likningane for bevaring av rørslemengd.^[1] På den generelle vektorforma kan likninga uttrykkast slik:

{\begin{aligned}{\frac {D{\vec {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial t}}+{\vec {V}}\cdot ({\vec {\nabla }}{\vec {\omega }})\\&=({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}-{\vec {\omega }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\vec {\nabla }}\rho \times {\vec {\nabla }}p+{\vec {\nabla }}\times \left({\frac {{\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\underline {\tau }}}}{\rho }}\right)+{\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}\end{aligned}}

der ${\vec {V}}$ er fartsvektoren, $\rho$ er tettleiken, $p$ er trykket, ${\underline {\underline {\tau }}}$ er den viskøse stresstensoren og ${\vec {B}}$ er lekamkrefter.

Med tensor-notasjon vert likninga:

{\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+V_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial V_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial V_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}

der vi har nytta Einstein-notasjon og $e_{ijk}$ er Levi-Civita-symbolet.

Fysisk tolking

Uttrykket ${\tfrac {D{\vec {\omega }}}{Dt}}={\tfrac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial t}}+{\vec {V}}\cdot ({\vec {\nabla }}{\vec {\omega }})$ er den materialderiverte av virvlingsvektoren ${\vec {\omega }}$ . Han skildrar endringsraten av virvlinga for ein væskepartikkel (eller med andre ord vinkelakselerasjonen til væskepartikkelen). Denne kan endrast på grunn av ustasjonære faktorar i straumen skildra ved ${\tfrac {\partial {\vec {\omega }}}{\partial t}}$ (det utasjonsære leddet) eller på grunn av rørsla til væskepartikkelen når han flyttar seg frå eit punkt til eit anna, ${\vec {V}}\cdot ({\vec {\nabla }}{\vec {\omega }})$ (konveksjonsleddet).

Det første leddet på høgresida av virvlingslikninga, $({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}$ , skildrar strekkinga eller hellinga av virvlinga på grunn av fartsgradientar. Merk at dette er ein tensor med ni ledd.

Det neste leddet, ${\vec {\omega }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})$ , skildrar virvlingsstrekking på grunn av kompressibiliteten til straumen.^[2] Stundom er det negativet forteiknet inkludert i leddet.

Det tredje leddet, ${\frac {1}{\rho ^{2}}}{\vec {\nabla }}\rho \times {\vec {\nabla }}p$ er det barokline leddet. Det utgjer endringar i virvilinga på grunn av tettleiks- og temperaturflater som kryssar kvarandre.

${\vec {\nabla }}\times \left({\tfrac {{\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\underline {\tau }}}}{\rho }}\right)$ utgjer virvlingsdiffusjon på grunn av viskøse effektar.

${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}$ utgjer endringar på grunn av lekamkrefter.^[3]

Forenklingar

For bevarte lekamkrefter er ${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=0$ .
For ei barotrop væske er ${\vec {\nabla }}\rho \times {\vec {\nabla }}p=0$ . Dette gjeld òg for ei væske med konstant tettleiksfelt der ${\vec {\nabla }}\rho =0$ .^[4]
For ikkje-viskøse væsker er ${\underline {\underline {\tau }}}=0$ .

Så for ei ikkje-viskøs, barotrop væske med bevarte lekamkrefter vert virvlingslikninga forenkla til^[5]

{\frac {D}{Dt}}\left({\frac {\vec {\omega }}{\rho }}\right)=\left(\left({\frac {\vec {\omega }}{\rho }}\right)\cdot {\vec {\nabla }}\right){\vec {V}}

For ei inkompressibel, ikkje-viskøs væske med bevarte lekamkrefter vert likninga

{\frac {D{\vec {\omega }}}{Dt}}=({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}

Fotnotar

↑ Utleiing av virvlingslikninga Utan kraftmoment eller andre krefter gjev likninga for bevaring av rørslemengd:
${\frac {D{\vec {V}}}{Dt}}={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\rho {\vec {B}}+{\frac {{\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\underline {\tau }}}}{\rho }}$
Virvlinga er definert som curlen av fartsvektoren $({\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}})$ . Ved å ta curlen på rørslelikninga får ein likninga ein ønskjer. Dei følgjande identitetane er nyttige i utleiinga av likninga,
${\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}={\vec {\nabla }}({\tfrac {1}{2}}{\vec {V}}\cdot {\vec {V}})-{\vec {V}}\times {\vec {\omega }}$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {V}}\times {\vec {\omega }})=-{\vec {\omega }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})+({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}-({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {\omega }}$

${\vec {\nabla }}\times \phi =0$ , der $\phi$ er ein skalar.

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\omega }}=0$
↑ Kontinuitetslikninga til straumen viser at
${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {V}})=0$
Dette kan omskrivast som
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {Dv}{Dt}}$
der $v={\tfrac {1}{\rho }}$ er det spesifikke volumet til eit væskeelement. Dermed kan ein sjå på ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}$ som eit mål på kompressibiliteten til straumen.
↑ Ei lekamkraft er proporsjonal til massen/volumet/ladinga til ein lekam. Slike krefter virkar på heile volumet til ein lekam i motsetnad til overflatekrefter som berre virkar på overflata. Døme på slike lekamkrefter er tyngdekrafta og elektromagnetiske krefter. Døme på overflatekrefter er friksjon, trykkrefter osv. Det finst òg linjekrefter, som overflatespenning.
↑ Merk at inkompressible væsker (med konstant tettleiksfelt) ikkje er det same som inkompressibel straum og at det barotrope leddet ikkje kan neglisjerast for ein inkompressible straum.
↑ Vi nyttar kontinuitetslikninga for å få denne forma.

Sjå òg

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Vorticity equation» frå Wikipedia på engelsk, den 23. juni 2009.

[1] Utleiing av virvlingslikninga Utan kraftmoment eller andre krefter gjev likninga for bevaring av rørslemengd:
${\frac {D{\vec {V}}}{Dt}}={\frac {\partial {\vec {V}}}{\partial t}}+{\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}p+\rho {\vec {B}}+{\frac {{\vec {\nabla }}\cdot {\underline {\underline {\tau }}}}{\rho }}$
Virvlinga er definert som curlen av fartsvektoren $({\vec {\omega }}={\vec {\nabla }}\times {\vec {V}})$ . Ved å ta curlen på rørslelikninga får ein likninga ein ønskjer. Dei følgjande identitetane er nyttige i utleiinga av likninga,
${\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}{\vec {V}}={\vec {\nabla }}({\tfrac {1}{2}}{\vec {V}}\cdot {\vec {V}})-{\vec {V}}\times {\vec {\omega }}$

${\vec {\nabla }}\times ({\vec {V}}\times {\vec {\omega }})=-{\vec {\omega }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}})+({\vec {\omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {V}}-({\vec {V}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {\omega }}$

${\vec {\nabla }}\times \phi =0$ , der $\phi$ er ein skalar.

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {\omega }}=0$

[continuity-2] Kontinuitetslikninga til straumen viser at
${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}\cdot (\rho {\vec {V}})=0$
Dette kan omskrivast som
${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {D\rho }{Dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {Dv}{Dt}}$
der $v={\tfrac {1}{\rho }}$ er det spesifikke volumet til eit væskeelement. Dermed kan ein sjå på ${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {V}}$ som eit mål på kompressibiliteten til straumen.

[3] Ei lekamkraft er proporsjonal til massen/volumet/ladinga til ein lekam. Slike krefter virkar på heile volumet til ein lekam i motsetnad til overflatekrefter som berre virkar på overflata. Døme på slike lekamkrefter er tyngdekrafta og elektromagnetiske krefter. Døme på overflatekrefter er friksjon, trykkrefter osv. Det finst òg linjekrefter, som overflatespenning.

[4] Merk at inkompressible væsker (med konstant tettleiksfelt) ikkje er det same som inkompressibel straum og at det barotrope leddet ikkje kan neglisjerast for ein inkompressible straum.

[5] Vi nyttar kontinuitetslikninga for å få denne forma.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]