Topologi

Topologi (frå gresk topos, stad og logos, lære) er ei grein av den moderne geometrien. Denne matematiske disiplinen har tidlegare gått under namnet analysis situs.

Eit Möbiusbånd, ein lekam med berre ei overflate og ein kant kan skildrast tolologisk.

Topologien tek for seg topologiske rom (dvs. figurar, lekamar, rom, flater, kurver, osv.) og dei eigenskapane som avheng av korleis det topologiske rommet «heng saman». Eksempelvis er dimensjon ein topologisk eigenskap, medan storleik og plassering er ikkje slike eigenskapar. Topologi er difor kalla gummigeometri.

Eksempelvis er ein kule og ein kube det same topologiske rommet, men begge er ulik ein sirkel.

Topografi handlar om kunsten å skildre topologiske former. Denne greina blei først utvikla for landskap, men er nå utvida til å omfatte både undervannskap og underjordiske formasjonar, med tredimensjonale hologram som foreløpig høgdepunkt.

Definisjon

Ein topologi på ein mengde beskriv kva for delmengder som skal betraktast som opne. Meir presist er eit par $(X,T)$ eit topologisk rom dersom $X$ er ei mengde og $T$ er ei mengde delmengder av $X$ slik at

• både den tomme mengda $\emptyset$ og $X$ er i $T$,
• ein vilkårleg union av mengder frå $T$ er også i $T$ og
• eit endeleg snitt av mengder frå $T$ er også i $T$.

Delmengdene i $T$ vert kalla opne, mens eit komplement av ei mengde i $T$ vert kalla lukka.

Alternativt kan ein topologi bli spesifisert ved å angi ein omegnestruktur.

Døme

• I den trivielle topologien på ei mengde $X$ er berre $\emptyset$ og $X$ opne mengder.

• I den diskrete topologien på ei mengde $X$ er alle delmengder opne.

• I standardtopologien på reelle tal, $\mathbb {R}$, er dei opne mengdene alle union av opne intervall.

Kjelder

• Seymour Lipschutz: General Topology. Schaum Publishing co., 1965.
• Arlo W. Schurle: Topics in Topology. Elsevier North Holland, Inc., 1979.
• Per Holm og Jon Reed: Topologi. Universitetsforlaget 1990.
  Denne matematikkartikkelen er ei spire. Du kan hjelpe Nynorsk Wikipedia gjennom å utvide han.