Bernsteinpolynom

Innanføre numerisk analyse er bernsteinpolynom eit polynom på bernsteinform, altså eit polynom skrive som ein lineærkombinasjon av bernsteinbasispolynom.

Ein numerisk stabil måte å rekna ut eit polynom på bernsteinform er de Casteljau-algoritmen.

Definisjon og motivasjon

Eit polynom av grad n kan skildrast som:

$f(t)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}t^{i}$

Altså ein lineærkombinasjon av den monomielle basisen, som er mengda av desse basisfunksjonane $t^{i}$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$. Vektorrommet for alle polynom av grad n er utspent av denne basisen. Det finst ein alternativ basis for dette vektorrommet som er gjeven ved bernsteinbasispolynoma $B_{i}^{n}(t)$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$. Eit polynom $p(t)$ uttrykt ved denne basisen er kjent som eit bernsteinpolynom:

$p(t)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}B_{i}^{n}(t)$

$p(t)$ er her eit bernsteinpolynom, definert som ein lineærkombinasjon av bernsteinbasispolynoma $B_{i}^{n}(t)$ for alle $i=\{0,\cdots ,n\}$ og $c_{i}$-ane er kjende som kontrollpunkt. Kontrollpunkta avgjer indirekte forma til polynomet.

Bernsteinbasispolynom

Bernsteinbasispolynom er definerte som:

$B_{i}^{n}(t)={\binom {n}{i}}t^{i}(1-t)^{n-i}$

Desse er lineært uavhengige. Dei første frå $B_{0}^{0}(t)$ til $B_{3}^{3}$ er:

${\begin{aligned}B_{0}^{0}(t)&=1,\\B_{0}^{1}(t)&=1-t,&B_{1}^{1}(t)&=t\\B_{0}^{2}(t)&=(1-t)^{2},&B_{1}^{2}(t)&=2t(1-t),&B_{2}^{2}(t)&=t^{2}\\B_{0}^{3}(t)&=(1-t)^{3},&B_{1}^{3}(t)&=3t(1-t)^{2},&B_{2}^{3}(t)&=3t^{2}(1-t),&B_{3}^{3}(t)&=t^{3}\end{aligned}}$

Eigenskapar hjå bernsteinbasispolynom

Derivert

${\frac {\partial }{\partial t}}B_{k}^{n}(t)=n\left(B_{k-1}^{n-1}(t)-B_{k}^{n-1}(t)\right)$

Rekursjonsformel

Bernsteinbasispolynom tilfredsstiller den følgjande rekursjonsformelen:

$B_{i}^{n}(t)=tB_{i-1}^{n-1}(t)+(1-t)B_{i}^{n-1}(t)$

Som følgjer frå at ${\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}$

Sjå òg

• Bezier-kurve