Rotasjon i vektoranalyse

Rotasjon (ofte kalla curl på fagspråket) er i vektoranalyse ein vektoroperator som skildrar rotasjonen til eit vektorfelt. I kvart punkt i feltet er rotasjonen representert av ein vektor. Eigenskapane til denne vektoren (lengd og retning) skildrar rotasjonen i dette punktet.

Rotasjonsretninga er rotasjonsaksen, som skildra av høgrehandsregelen, og storleiken til curlen er rotasjonsstorleiken. Om vektorfeltet representerer væskestraum til ei væske i rørsle, så er rotasjonen sirkulasjonstettleiken til væska. Eit vektorfelt med rotasjon lik null vert kalla ikkje-roterande. Rotasjonen er ei form for differensiering for vektorfelt. Den tilsvarande forma av fundamentalteoremet i analyse er stokesteoremet, som knyter overflateintegralet til rotasjonen av eit vektorfelt til eit linjeintegral til vektorfeltet rundt ei avgrensa kurve.

Notasjonar som vert nytta for rotasjonen eller curlen er $\scriptstyle \operatorname {rot} \ \mathbf {F}$ og $\scriptstyle \nabla \times \mathbf {F}$ (sistnemnde er mykje nytta i Europa).

Definisjon

Rotasjonen til eit vektorfelt F, skrive $\scriptstyle \nabla \times \mathbf {F}$, i eit punkt er definert som projeksjonen av forskjellige linjer gjennom dette punktet. Om $\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ er ein vilkårleg einingsvektor, så er projeksjonen av rotasjonen av F på $\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ definert som grenseverdien av eit lukka linjeintegral på eit plan ortogonalt til $\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ når ein i integralet kjem uendeleg nært punktet, delt på arealet som vert omslutta.

Slik sett mappar rotasjonsoperatoren C¹-funksjonar frå R³ til R³ til C⁰-funksjonar frå R³ til R³.

Vektororientering av eit linjeintegral

Implisitt er rotasjonen eller curlen definert som :

$(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}{\frac {\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }{A}}$

Her er $\scriptstyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$ eit linjeintegral langs grensa til området det er snakk om (t.d. $\scriptstyle C=\partial {\mathcal {A}}$), og $\scriptstyle \,A$ er storleiken til området $\scriptstyle {\mathcal {A}}$. Om $\scriptstyle \mathbf {\hat {\nu }}$ peikar utover i normalplanet, der $\scriptstyle \mathbf {\hat {n}}$ er einingsvektoren perpendikulær til planet (sjå figur til høgre), så er orienteringa av C vald slik at vektoren $\scriptstyle \mathbf {\hat {\omega }}$-tangent til C er positivt orientert visst og berre visst $\scriptstyle \{\mathbf {\hat {n}} ,\mathbf {\hat {\nu }} ,\mathbf {\hat {\omega }} \}$ dannar ein positiv orientert base for R³ (høgrehandsregelen).

Intuitiv tolking

Tenk at vektorfeltet skildrar fartsfeltet til ein væskestraum (som ein stor tank med vatn eller gass) og ein liten ball som ligg i væska eller gassen (senteret av ballen ligg i ro på eit fast punkt). Om ballen har ei ru overflate vil han rotere når væska strøymer forbi. Rotasjonsaksen (orientert i forhold til høgrehandsregelen) peikar i retninga til curlen av feltet i senteret av ballen, og vinkelsnøggleiken til rotasjonen er halve verdien av curlen i dette punktet.

Sjølv om alle straumlinjene er parallelle, kan ballen starta å rotere om væska renn raskare på eine sida enn den andre.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Curl (mathematics)» frå Wikipedia på engelsk, den 30. november 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
• Arfken, George B. og Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6. utg. (2005). ISBN 978-0120598762.
• Korn, Granino Arthur; Theresa M. Korn. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review. New York: Dover Publications. s. 157–160. ISBN 0-486-41147-8. 

Bakgrunnsstoff

• Divergens og rotasjon