Den gylne vinkelen

Den gylne vinkelen (Ψ) er innan geometrien eit snitt av ein sirkel på 360 grader, der tilhøvet mellom to vinklar følgjer det gylne snittet. Om den store sirkelsektoren a og den mindre sirkelsektoren b blir dividerte blir kvotienten 1,618... = φ

Den gylne vinkelen er vinkelen på den mindre delen (oransje) og er avhengig av at begge delane forheld seg til det gylne snittet. Ψ≈137,5°

Om a+b er omkrinsen på sirkelen og han blir dividert med den større delen a, er det det same som at den større delen a blir dividert med den mindre delen b.

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}.$

Den gylne vinkelen er bestemd av vinkelen på den mindre sirkelsektoren, og blir rekna ut gjennom å dividera 360/2,618 som blir cirka 137,508°.

Namnet kjem frå koplinga av vinkelen til det gylne snittet φ. Den eksakte verdien på den gylne vinkelen er

$360\left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=360(2-\varphi )={\frac {360}{\varphi ^{2}}}=180(3-{\sqrt {5}}){\text{ grader}}$

$2\pi \left(1-{\frac {1}{\varphi }}\right)=2\pi (2-\varphi )={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}=\pi (3-{\sqrt {5}}){\text{ radianar}}$

Avleiing

Det gylne snittet er ifølge definisjon over φ = a/b

Lat no ƒ vera snittet av bogelengda til sirkelskiva over den totale sirkelomkrinsen. Det gylne snittet kan derfor inkorporerast i formelen ifølge

$f={\frac {b}{a+b}}={\frac {1}{1+\varphi }}.$

Men ettersom

${1+\varphi }=\varphi ^{2},$

Så følgjer det at

$f={\frac {1}{\varphi ^{2}}}$

Dette er det same som å seia at φ ² 'tal gyle vinklar' får plass i ein sirkel.

Fraksjonen av ein sirkel som blir opptatt av den gylne vinkelen blir dermed

$f\approx 0.381966.\,$

Den gylne vinkelen g kan deretter approksimerast i talet grader ifølge:

$g\approx 360\times 0.381966\approx 137.508^{\circ },\,$

Eller i radianar:

$g\approx 2\pi \times 0.381966\approx 2.39996.\,$

Den gylne vinkelen i naturen

Vinkelen mellom ulike blad i følgd som sit etter den gylne vinkelen i høve til kvarandre.

Den gylne vinkelen speler ei viktig rolle i høve til phyllotaxis eller bladstilling; til dømes er vinkelen mellom respektive blad hjå ei sosikke omtrent den gylne vinkelen.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Gyllene vinkeln» frå Wikipedia på svensk, den 20. mars 2022.
  • Wikipedia på svensk oppgav desse kjeldene: Engelsk Wikipedia