Matematisk funksjon

Ein funksjon er i matematikken ein relasjon som knyter kvart element i ei gitt mengd til eitt element i ei anna mengd.

Definisjon

La A og B vere to mengder. Ein funksjon f frå A til B tilordnar eit unikt element i B til kvart element i A. Viss y ∈ B vert tilordna x ∈ A, skriv ein f(x) = y. A er då definisjonsmengda til f, og f(A) = {y : y = f(x), x &\in; B} er verdimengda; mengda av alle y som kan skrivast som f(x) = y.

I mengdelæra vert ein funksjon f frå A til B definert som ei delmengd av det kartesiske produktet A×B med eigenskapen at viss a er eit element i A, så finst nøyaktig eitt element b i B sånn at (a,b) ∈ A×B. Denne definisjonen samsvarer med det me vanlegvis vil kalla grafen til funksjonen.

Notasjon

Viss f er ein funksjon med definisjonsmengd A og verdimengde B, skriv ein $f:A\rightarrow B$.

$f:x\mapsto y$ tyder at y er avbildningen av x under f, det vil seie at f(x)=y.

Eigenskapar

La f vere ein funksjon frå A til B.

Funksjonen er injektiv viss det for kvart element y ∈ B, ikkje finst meir enn eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y.

Funksjonen er surjektiv viss det for kvart element y ∈ B, finst minst eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y.

Funksjonen er bijektiv viss han er både injektiv og surjektiv, det vil seie at det for kvart element y ∈ B finst nøyaktig eitt element x ∈ A sånn at f(x) = y.

Døme

Det finst uendeleg mange funksjonar. Elementære, men likevel viktige døme er:

Karakteristiske funksjonar: $f:A\rightarrow {0,1}$. Funksjonen karakteriserer ei mengd E = {x : f(x) = 1}.

Enkle funksjonar: Lineære summar av karakteristiske funksjonar.

Polynom: Funksjonar på forma $f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{0}$.