Funksjonallikning

Ei funksjonallikning er ei likning som uttrykkjer eit tilhøve mellom verdien til ein funksjon (eller funksjonar) i eit punkt med verdi i andre punkt. Nemninga funksjonallikning blir vanlegvis berre brukt for likningar som ikkje utan vidare kan reduserast til algebraiske likningar, ofte fordi to eller fleire funksjonar blir sett inn som argument i ein annan funksjon.

Døme

Funksjonslikninga

f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)

er tilfredsstilt av Riemann-zeta-funksjonen ζ. Stor Γ syner til gammafunksjonen.

Desse funksjonallikningane er tilfredsstilte av gammafunksjonen. Gammafunksjonen er ei unik løysing til systemet med desse tre likningane:

f(x)={f(x+1) \over x}\,\!

f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)

f(z)f(1-z)={\pi  \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,

(Euler sin refleksjonsformel)

Funksjonallikningane

f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)\,\!

der a, b, c, d er heiltal tilfredsstiller ad − bc = 1, i.e.

{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1

, definerer f som ei modulform med orden k.

Forskjellige døme som ikkje nødvendigvis omfattar «kjende» likningar:

f(x+y)=f(x)f(y),\,\!

tilfredsstilt av alle eksponesialfunksjonar

f(xy)=f(x)+f(y)\,\!

, tilfredsstilt av alle logaritmiske funksjonar

f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!

(Cauchys funksjonallikning)

f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!

(kvadratisk likning eller parallellogramlova)

f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!

(Jensen)

g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!

(d'Alembert)

f(h(x))=f(x)+1\,\!

(Abel-likninga)

f(h(x))=cf(x)\,\!

(Schröder-likninga).

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Functional equation» frå Wikipedia på engelsk, den 13. september 2011.

Bakgrunnsstoff

(en) Functional Equations: Exact Solutions hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(en) Functional Equations: Index hos EqWorld: The World of Mathematical Equations.
(en) IMO Compendium Arkivert 2009-03-06 ved Wayback Machine. tekst om funksjonalligninger i problemløsing.