Generelle fourierrekkjer

Generelle fourierrekkjer har i matematisk analyse vist seg å vere nyttige. Dei er alle spesialtilfelle av dekomponeringar ove rein ortonormal base av eit indre produktrom. Her ser ein på kvadratingrerbare funksjonar definert på eit intervall med reelle tal, som mellom anna er viktig for interpolasjonsteori.

Definisjon

Ein tenkjer seg eit sett med kvadratintegrerbare funksjonar med verdiar i F=C eller R,

$\Phi =\{\varphi _{n}:[a,b]\rightarrow F\}_{n=0}^{\infty },$

som er parvise ortogonale for det indre produktet.

$\langle f,g\rangle _{w}=\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g}}(x)\,w(x)\,dx$

der w(x) er ein vektfunksjon og ${\overline {\cdot }}$ representerer kompleks konjugering complex conjugation, til dømes ${\overline {g}}(x)=g(x)$ for F=R.

Den generelle fourierrekkja til ein kvadratintegrerbar funksjon f: [a, b] → F, med omsyn til Φ, vert då

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}(x),$

der koeffisientane er

$c_{n}={\langle f,\varphi _{n}\rangle _{w} \over \|\varphi _{n}\|_{w}^{2}}.$

Døme

Legendre-polynoma er løysingar til Sturm–Liouville-problem

$\left((1-x^{2})P_{n}'(x)\right)'+n(n+1)P_{n}(x)=0$

og på grunn av denne teorien er desse polynoma eigenfunksjonar til problemet og er løysingar ortogonale med omsyn til det indre produktet over med einingsvekt. Så vi kan lage ei generelle fourierrekkje (kalla Fourier–Legendre-rekkje) som omfattar legendre-polynom og

$f(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\varphi _{n}(x),$

$c_{n}={\langle f,P_{n}\rangle _{w} \over \|P_{n}\|_{w}^{2}}$

Som eit døme, la oss rekne ut Fourier–Legendre-rekkja for ƒ(x) = cos x over [−1, 1]. No er

${\begin{aligned}c_{0}&=\sin {1}={\int _{-1}^{1}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}(1)^{2}\,dx}\\c_{1}&=0={\int _{-1}^{1}x\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}x^{2}\,dx}={0 \over 2/3}\\c_{2}&={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})={\int _{-1}^{1}{3x^{2}-1 \over 2}\cos {x}\,dx \over \int _{-1}^{1}{9x^{4}-6x^{2}+1 \over 4}\,dx}={6\cos {1}-4\sin {1} \over 2/5}\end{aligned}}$

og ei rekkje omfattar desse ledda

$c_{2}P_{2}(x)+c_{1}P_{1}(x)+c_{0}P_{0}(x)={5 \over 2}(6\cos {1}-4\sin {1})\left({3x^{2}-1 \over 2}\right)+\sin {1}(1)$

$=\left({45 \over 2}\cos {1}-15\sin {1}\right)x^{2}+6\sin {1}-{15 \over 2}\cos {1}$

som skil seg frå cos x med om lag 0.003, om 0. Det kan vere nyttig å nytte slike Fourier–Legendre-rekkjer sidan eigenfunksjonane alle er polynom og dermed integral. Slik vert koeffisientane enklare å rekne ut.

Koeffisientteorem

Somme teorem om koeffisientane c_n er mellom anna:

Bessel-ulikskapen

$\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}\leq \int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx.$

Parseval-teoremet

Om Φ er eit komplett sett

$\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}=\int _{a}^{b}|f(x)|^{2}\,dx.$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Generalized Fourier series» frå Wikipedia på engelsk, den 2. desember 2009.