Lotka-Volterra-likning

Lotka-Volterra-likningane er to økologiske matematiske modellar. Dei vart begge utvikla av Alfred J. Lotka og Vito Volterra, som jobba uavhengig av kvarandre men kom fram til dei same resultata.

Begge likningane er logistiske likningar der ulike variablar speglar tilstandane til to ulike bestandar.

Lotka-Volterra-likninga for interspesifikk konkurranse

Lotka-Volterra-likninga for interspesifikk konkurranse er ein modell for korleis to ulike bestandar av samlevande artar som konkurrerer om ein felles ressurs påverkar kvarandre. Her nyttar ein ulike variablar for å spegla dei ulike artane sin bestandstorleik, bestandstilvekst per tidseining (fødselstal minus dødstal), økologisk bereevne og negativt konkurrerande effekt på kvarandre.

Denne likninga botnar i ein logistisk modell for bestandsvekst,

${dN \over dt}=rN{(K-N) \over K}$, der «N» er bestandstorleik, «r» er tilvekst per tidseining og «K» er økologisk bereevne.

I likningane

${dN_{1} \over dt}=r_{1}N_{1}{K_{1}-N_{1}-\alpha _{12}N_{2} \over K_{1}}$

${dN_{2} \over dt}=r_{2}N_{2}{K_{2}-N_{2}-\alpha _{21}N_{1} \over K_{2}}$

for høvesvis art 1 og art 2 vert den negative effekten bestandane har på kvarandre lagt til i reknestykket som «α». α12 er verknaden art 1 har på 2, og omvendt.

Korleis denne modellen oppfører seg vert som regel vist med null-isoklinar; ein lagar diagram over dei ulike bestandane og teiknar opp ein graf for når $\ {r_{1}N_{1}(K_{1}-N_{1}-\alpha _{12}N_{2})=0}$. Når N-verdiane til art 1 ligg over denne linja, vil dei minke, og når dei ligg under ho vil dei auka. Ein kan gjera det same for $\ {N_{2}}$. Kombinert vil desse isoklinane vise kva for effekt dei to bestandane har på kvarandre.

Lotka-Volterra-likninga for predator/bytte-tilhøve

Lotka-Volterra-likninga for predator/bytte-tilhøve, som ofte berre vert kalla Lotka-Volterra-likninga, tek for seg predasjon og korleis det verkar inn på bestanddynamikken. Her tyder N byttebestand og P predatorbestand, medan a er leite- og åtaks-effektiviteten til predatoren. Det er verdt å merka seg at denne likninga ikkje tek høgd for intra- eller interspesifikk konkurranse, men føreset eksponentiell vekst i byttebestanden.

${dN \over dt}=rN-aPN$ syner korleis byttebestanden utviklar seg. rN er bestandstilvekst gonger bestandstorleik, medan aPN viser kor mykje bestanden minkar på grunn av predatoren P.

${dP \over dt}=faPN-qP$ syner korleis predatorbestanden utviklar seg. f står då for kor gode predatorane er til å omsetja innteke føde aPN til avkom. Samla gjev faPN bestandstilveksten til predatorane. q er dødsraten til predatorane.

Som med modellen for interspesifikk konkurranse nyttar ein modellen ved å laga null-isoklinar. For bytteorganismar vert ${dN \over dt}=0$ når $\ rN=aPN$, som kan skrivast om til $P={r \over a}$. Sidan både r og a er konstantar, vil P vera konstant gjennom heile null-isoklinen til bytteorganismane og danna ei rett linje.

For predatorane vil null-isoklinen ${dN \over dt}=0$ når $\ faPN=qP$, det vil seie når $N={q \over fa}$. N er altså konstant for P-null-isoklinen, og dannar ei rett linje i diagrammet på tvers av N sin null-isoklin.

Bestandsstorleik (y-aksa) over tid (x-aksa). Den blå linja representerer predatorar og den raude bytte.

Det ferdige diagrammet lagar ein perfekt kross der vinklane mellom P og N sine null-isoklinar ligg på nøyaktig 90 gradar. Predatorbestandar aukar når det er mykje bytte, noko som fører til at byttebestandane går ned, noko som igjen fører til at predatorbestandane går ned, og så bortetter. Samla fører dette til at dei to bestandane følgjer kvarandre, noko ein kan framstilla grafisk som ein figur av tid.

Predator/bytte-modellen er frykteleg enkel, og har eit særs avgrensa bruksområde. Ofte vil ikkje bestandane følgje dei enkle kurvene ein ser i grafane, av den enkle grunn at predator/bytte-tilhøve berre er delar av eit større økosystem - båe bestandane vert påverka av konkurranse, andre predatorar, sjukdom, fysiske tilhøve og liknande. Nye og meir realistiske modellar har kome til seinare, mellom anna den grafiske Rosenzweig-MacArthur-modellen.

Kjelder

• Begon, Michael, Townsend, Colin R. & Harper, John L: Ecology - From individuals to ecosystems Blackwell publishing 2007
• Krebs, Charles J.: Ecology - The Experimental Analysis of Distribution and Abundance Cummings 2001