Partiellderivert

Den partiellderiverte til ein fleirvariabel funksjon er den deriverte til funksjonen med omsyn på ein variabel, mens dei andre blir halden konstant.

Tangentar parallelt med x og y-aksen

Notasjonen for den partiellderiverte for ein funksjon med variablane med omsyn på skriv ein som oftast på forma

men ein også skriva han som . Ein les "den partiellderiverte av med omsyn på ".

, ein stilisert kursiv d, blir brukt for å visa til partiellderiverte og skil det frå deriverte av einvariable funksjonar, .

Den deriverte til ein einvariabla funksjon er stigningstalet til tangenten i punktet . I ein funksjon med to variablar er det uendeleg mange tangentar i kvart punkt , men som oftast er det tangentane parallellt til enten eller -aksen som er av høgst interesse. Når ein partiellderiverer finn vi stigningstalet til ein av desse to tangentane.

DefinisjonEndra

R2Endra

La   vere ein funksjon av to variablar,   og  .

Den partiellderiverte til   med omsyn på   er definert som

 ,

dersom grenseverdien eksisterer.

Korresponderande er den pariellderiverte med omsyn på   definert slik:

 

RnEndra

Vi kan generalisere definisjonen i andredimensjon til å gjelde for alle dimensjonar

La   vere ein funksjon av   variablar,  .

Vi definerer den partiellderiverte til   med omsyn på   slik:

 

Kvar funksjon i   har   partiellderiverte; ein til kvar variabel.

Eksempel i R2Endra

Vi har funksjonen  

 

Når ein partiellderiverer med hensyn på ein variabel behandlar vi den andre som konstant. Dei to partiellderiverte til   er dermed

 

Stigningstalet til tangenten parallelt med  -aksen i punkt (1,1) er

 

Tilsvarande har vi stigingstalet til tangenten parallelt med  -aksen:

 

Partiellderiverte av høgre ordenEndra

Slik som for funksjonar med ein variabel, kan vi definere partiellderiverte av høgre orden for funksjonar med fleire variablar. Dersom ein partiellderivert er deriverbar kan ein fortsette å derivere med omsyn på same eller ein anna variabel så langt det let seg gjere.

Deriverer vi ein førstepartiellderivert med same variabel finn vi den andrepartiellderiverte, og skriv følgjande notasjonar:

 

Deriverer vi med ein anna variabel får vi ein kryssa andrepartiellderivert

 

Symmetrien eller likskapen av andre partiellderiverte fastslår at rekkjefølgja for å oppnå ein kryssa andrepartiellderivert er likegyldig[1]

 

Deriverer vi ein andrepartiellderivert får vi ein tredjepartiellderivert, og så vidare... Deriverer vi ein funksjon  -gongar med same variabel får vi n-te ordens partiellderivert

 

Vi får ein n-te ordens kryssa partiellderivert dersom vi deriverer ein funksjon   gongar med   ulike variablar

 

Sjå ogsåEndra

KjelderEndra

  1. Adams, Robert A (2017). «12.4». Calculus: A Complete Course. Pearson Canada. s. 698–699. ISBN 9780134154367.