Opna hovudmenyen

Derivasjon er i matematikken eitt av to sentrale emne innan differensialrekning. Det andre er integrasjon.

Den deriverte gjev den momentane endringa til ein funksjon. For reelle funksjonar av ein variabel vert denne verdien kalla for funksjonen sitt stigningstal. Stigningstalet er definert som stigninga til tangenten til funksjonen i punktet og kan estimerast ved hjelp av sekantar. Ikkje alle funksjonar er deriverbare overalt. Til dømes for ein funksjon funksjon som er diskontinuerleg eller har ein loddrett tangent i eit punkt, vil den deriverte vere udefinert for dette punktet.

TerminologiEndra

Diskontinuerleg; ein funksjon som har eitt eller fleire verdiar der han ikkje er definert.
Kritisk punkt; eit punkt der den deriverte er lik 0.
Lokalt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane innanfor eit avgrensa definisjonsområde.
Absolutt maks/min punkt; eit eller fleire kritiske punkt som har dei høgaste eller lågaste verdiane, for alle definerbare verdiar. Absolutte maks/min punkt kan i mange tilfelle ikkje eksistere i det heile tatt t.d.:

 

NotasjonEndra

Lagrange sin notasjonEndra

For ein reell funksjon av ein variabel,  , er det vanleg å skrive  ,  ,   og  ,  , for respektive første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte.

Leibniz sin notasjonEndra

I Leibniz sin notasjon vert symbolet   nytta for derivasjon med omsyn på  . Vi skriv då   eller   for den deriverte til  . Dei høgare ordens deriverte vert skrive   eller  . Ideen bak denne notasjonen er at differensiala   og   representerer «infinitesimale endringar» i verdiane til respektive   og  .

Newton sin notasjonEndra

For meir om dette emnet, sjå fluksjon i matematikk.

Newton sin notasjon vert nytta innan fysikk og mekanikk, og spesielt når variabelen omhandlar tid. I denne notasjonen vert derivasjon skrive ved å sette prikkar over funksjonen. Til dømes om   er ein funksjon av  , så er   og   respektive den første- og andre-deriverte av  .

Euler sin notasjonEndra

I Euler sin notasjon er ideen å tenke på derivasjon som ein operator som verkar på funksjonar. Derivasjonsoperatoren vert skrive som  , og vi skriv  ,  ,   og   for første-, andre-, tredje- og høgare-ordens deriverte. Dersom ein ønskjer å presisere at derivasjonen vert teke med omsyn på variabelen  , kan ein skrive  .

Å finne den deriverteEndra

Ofte vil ein funksjon   vere gjeve ved ein formel, bygd opp frå kjende funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting. Derivasjonsreglane viser oss samanhengane mellom den deriverte til formelen og dei deriverte til bestanddelane. Så søker ein i lista over derivasjonsformlar for å finne dei deriverte til bestanddelane (dei kjende funksjonane som inngår i formelen).

DerivasjonsreglarEndra

Tenk at funksjonane   og   er deriverbare i punktet   og at   er ein konstant. Då er òg  ,  ,  ,   og   (føresett at  ) òg deriverbare i  , og den deriverte er gjeve ved:

  •  
  •  
  •  
  • Produktregelen:  
  • Kvotientregelen:  

Kjerneregelen: Tenk at   er deriverbar i   og   er deriverbar i  . Då er den samansette funksjonen   gitt ved   òg deriverbar i   og den deriverte er gjeve ved:

 

Den deriverte til den omvendte funksjonen: Tenk at   er ein kontinuerleg, strengt monoton funksjon, som er deriverbar i punktet   med  . Då er den omvendte funksjonen   deriverbar i   og vi har

 .

Liste over derivasjonsformlarEndra

Generelle tilfelle
  • For ein konstant   er  .
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
For eksponentielle funksjonar
  •   der   er Eulertalet.
  •   der  .
For logaritmiske funksjonar
  •   for  , her er   den naturlege logaritmen.
  •   for  .
For trigonometriske funksjonar
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
For omvendte trigonometriske funksjonar
  •  
  •  
  •  
For hyperbolske funksjonar
  •  
  •  
  •  
  •  
For omvendte hyperbolske funksjonar
  •  
  •  
  •  

DømeEndra

Døme 1

La  . Vi finn den deriverte ved å bruke derivasjonsreglane for sum og differanse:

 
Døme 2

La  . Her må vi bruke produktregelen og kjerneregelen:

 

Bruk av derivasjon i grafteikningEndra

Derivasjon kan nyttast når ein skal teikne grafar for funksjoner, ved at det kan nyttast til å finne tangentar, ekstrempunkt og vendepunkt.

Å finne tangenten til   i eit punktEndra

Om   er deriverbar i  , så er likninga for tangenten til   i   gjeve ved:

 .

EkstremalpunktEndra

Kandidatar til minimums- og maksimumspunkt er dei   der  .

VendepunktEndra

Kandidatar til vendepunkt er dei   der  .

KrummingEndra

Grafen til   krummar oppover når  , og grafen krummar nedover når  .

Teori for derivasjonEndra

DefinisjonEndra

Hovudideen bak definisjonen av den deriverte er at   er stigningstalet til tangenten til grafen av   i punktet  , og at sekanten gjennom punkta   og   er ei god tilnærming til denne tangenten når   går mot  . Stigningstallet til sekanten er gjeve ved:

 

og vi definerer den deriverte av   i   til å vere grenseverdien

 

dersom denne grenseverdien eksisterer, og vi skriv då   for dette talet. Om grenseverdien ikkje eksisterer er funksjonen   ikkje deriverbar i  .

Deriverbar funksjonEndra

Ein funksjon   vert kalla deriverbar i punktet   dersom   eksisterer. Ein funksjon vert kalla deriverbar dersom han er deriverbar i alle punkt i definisjonsmengden. Ein funksjon   vert kalla   dersom den deriverte   er ein kontinuerleg funksjon.

MiddelverdisetningaEndra

Dersom   er ein kontinuerleg funksjon, og deriverbar på det opne intervallet  , så finst eit punkt   mellom   og   slik at:

 .

BakgrunnsstoffEndra

KjelderEndra