Tregleiksbølgje

Tregleiksbølgjer eller tregleikssvingingar er mekaniske bølgjer som oppstår i roterande væsker. I motsetnad til havbølgjer, som ein ofte ser på strender eller i badekaret, forplantar tregleiksbølgjene seg i sjølve vassmassen, og ikkje på overflata. Som alle andre typar bølgjer oppstår tregleiksbølgjene på grunn av ei tilbakeføringskraft og er kjenneteikna ved bølgjelengda og frekvensen sin. Fordi tilbakeføringskrafta til tregleiksbølgjer er corioliskrafta, har derimot bølgjelengda og frekvensen eit uvanleg forhold samanlikna med mange andre bølgjer. Tregleiksbølgjer er transverse. Oftast ser ein denne typen bølgjer i atmosfæren, havet, innsjøar og i laboratorieeksperiment. Rossbybølgjer, geostrofisk straum og geostrofisk vind er alle døme på tregleiksbølgjer. Det er òg sannsynleg at ein har tregleiksbølgjer i kjernen av jorda.

Tilbakeføringskraft

For å forstå konseptet bak ei tilbakeføringskraft kan ein tenkje seg ein gitarstreng. Når strengen er i likevekt er han i spenn og rett, og er halden i ro i begge endar. Ved å slå på strengen flyttar han seg bort frå likevektsposisjonen. Spenninga i strengen trekk så strengen tilbake mot likevekt, men han går for langt slik at strengen så bøyer seg i motsett retning. Spenninga fører så igjen til at strengen vert trekt tilbake mot likevektspunktet, og han vil igjen gå for langt, og slik held det fram til strengen til slutt står i ro igjen. Sidan spenninga fører strengen tilbake til likevekt vert ho kalla ei tilbakeføringskraft. Utan denne ville ikkje strengen kunne vibrere, og ein kunne ikkje hatt ei bølgje på strengen.

På same måte er det opne havet i likevekt når overflata er heilt blank og flat. Viss noko (som vind) fører til at havoverflata stig og dannar ein topp, vil toppen med ein gong bli dradd tilbake mot likevekt av tyngdekrafta. Som med gitarstrengen vil vassflata gå forbi likevektspunktet, og toppen vert ein dal, som gjer at det omliggande vatnet dannar toppar. Desse vert så trekt tilbake mot likevekt av tyngdekrafta og syklusen held fram. På den måten er tyngdekrafta tilbakeføringskrafta for bølgjer på det opne havet, og vert derfor kalla tyngdebølgjer.

Alle bølgjer har ei tilbakeføringskraft. Bølgjer på ein streng vert ført tilbake av spenninga. Bølgjer på det opne havet vert ført tilbake av tyngda. Bølgjer i grunt vatn (t.d. brytande bølgjer på ei strand) har kapillære krefter som tilbakeføringskrafta og vert kalla kapillærbølgjer. Lydbølgjer har trykk som tilbakeføringskraft, noko som fører til at dei ikkje kan forplante seg i vakuum. Lys, radiobølgjer og røntgenstråler er forskjellige typar elektromagnetiske bølgjer som kan forplante seg i vakuum fordi tilbakeføringskrafta er ei samhandling mellom det elektriske feltet og det magnetiske feltet.

Tregleiksbølgjer har corioliskrafta som den tilbakeførande krafta, som følgje av rotasjon. Meir presist kan ein sei at corioliskrafta (i lag med sentrifugalkrafta) oppstår i eit roterande system som følgje av at eit slikt system alltid akselererer. Ein kan derfor ikkje ha tregleiksbølgjer utan rotasjon. Corioliskrafta virkar med ein vinkel på 90º på rørsleretninga, og styrken avheng av rotasjonsraten til væska. Desse to eigenskapane fører til kjenneteikna til tregleiksbølgjene.

Kjenneteikn

Tregleiksbølgjer kan berre oppstå i roterande væsker, og oppstår i sjølve vassmassen, og ikkje på overflata. Som lysbølgjer er tregleiksbølgjene transverse, som betyr at vibrasjonen oppstår vinkelrett på retninga bølgja forflyttar seg i. Det motsette er langsgåande bølgjer, der vibrasjons- og bølgjeretninga er den same. Tregleiksbølgjer har ein fasefart (viser retninga til væska), som er vinkelrett på gruppefarten (viser forplantinga av energien).

Tregleiksbølgjer kan berre eksistere innanfor eit viss frekvensinterval, frå null til to gonger rotasjonsraten til væska. Lyd- og elektromagnetiske bølgjer kan derimot eksistere for alle frekvensar. I tillegg vert frekvensen til tregleiksbølgja avgjort av kva retning bølgja forplantar seg i. Bølgjer som forplantar seg vinkelrett på rotasjonsaksen har null frekvens, og vert av og til kalla den geostrofiske modusen. Bølgjer som forplantar seg parallelt til aksen har størst frekvens (to gonger rotasjonsraten), medan bølgjer som forplantar seg med andre vinklar har frekvensane mellom null og to gonger rotasjonsraten. I ein lukka boks har ein derimot fleire restriksjonar på kva frekvensar tregleiksbølgjene kan ha. I ein sfære har ein til dømes visse frekvensar som tregleiksbølgjene ikkje kan ha i det heile tatt.

Døme

Alle slags væsker kan ha tregleiksbølgjer: Vatn, olje, flytande metall, luft og andre gassar. Tregleiksbølgjer ser ein oftast i atmosfæren (Rossbybølgjer, geostrofisk vind) og i hav og innsjøar (geostrofisk straum), der dei fører til mykje av omrøringa som skjer. Tregleiksbølgjer som vert påverka av hellinga av havbotn vert ofte kalla rossbybølgjer.

Matematisk skildring

Væskestraum er styrt av rørslelikningane (ofte kalla Navier-Stokes-likningane) som i hovudsak er ei omforming av Newton si andre lov for væska. Farten ${\vec {u}}$ i ei væske med viskositet $\nu$ , trykk $P$ og rotasjonsrate $\Omega$ som endrar seg med tida $t$ kan skrivast som

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+({\vec {u}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}=-{\frac {1}{\rho }}{\vec {\nabla }}P+\nu \nabla ^{2}{\vec {u}}-2{\vec {\Omega }}\times {\vec {u}}$

${\vec {u}}$ er farten til væska observert i eit roterande referansesystem. Sidan eit roterande referansesystem alltid akselererer (eit såkalla ikkje-tregleikssystem) må ein ha med to krefter i tillegg: sentripetalkrafta og corioliskrafta. I likninga over er sentripetalkrafta faktisk ein del av det generaliserte trykket $P$ , altså er $P$ relatert til det vanlege trykket $p$ avhengig av avstanden frå rotasjonsaksen $r$ ved

$P=p+\rho r^{2}\Omega ^{2}$

Det siste leddet på høgre side av rørslelikninga over er coriolisleddet. Det første leddet til høgre står for trykk, og det andre står for viskøs diffusjon.

Når rotasjonsraten vert stor vert corioliskrafta og sentripetalkrafta store samanlikna med dei andre ledda. Så diffusjonsleddet og det «konvektivt deriverte» leddet (det andre leddet til venstre) kan fjernast. Ved å ta vektorrotasjonen på begge sider og ved å bruke kjende vektorforhold vert resultatet:

${\frac {\partial }{\partial t}}\times {\vec {u}}=2({\vec {\Omega }}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {u}}.$

Løysinga til denne likninga er bølgjer som tilfredsstiller to vilkår. Det første, viss ${\vec {k}}$ er bølgjevektoren,

${\vec {u}}\cdot {\vec {k}}=0,$

altså må bølgja vere transvers, som nemnd over. Den andre løysinga krev ein frekvens $\omega$ som oppfyller dispersjonsforholdet

$\omega =2{\hat {k}}\cdot {\vec {\Omega }}=2\Omega \cos {\theta },$

der $\theta$ er vinkelen mellom rotasjonsaksen og retninga til bølgja. Desse særskilde løysingane er kjend som tregleiksbølgjer.

Dispersjonsforholdet er ganske likt coriolisleddet i rørslelikninga. Merk rotasjonsraten og faktoren på to. Dette gjev dei moglege frekvensane til tregleiksbølgjer, og forholdet mellom frekvensen og retninga til bølgjene.

Kjelder

Aldridge, K. D.; I. Lumb (1987). "Inertial waves identified in the Earth's fluid outer core". Nature 325: 421-423.
Greenspan, H. P. (1969). The Theory of Rotating Fluids. Cambridge University Press.
Landau, L. D.; E. M. Lifschitz (1987). Fluid Mechanics, Second Edition. New York: Elsevier. ISBN 0-7506-2767-0.