Cantorteoremet

Cantorteoremet er eit teorem i matematikken som seier at ein kvar mengd $A$ har strengt mindre kardinalitet enn potensmengden $2^{A}$ til $A$.

Prov

Anta at det finst ein bijeksjon $f:A\to 2^{A}$. For kvar $a\in A$ er det to moglegheitar. Me har anten $a\in f(a)$ eller $a\not \in f(a)$. La $X=\{a\in A\mid a\not \in f(a)\}$. $X$ er ein delmengd av $A$ og dermed $X\in 2^{A}$. Men sidan $f$ er ein bijeksjon, så finst det ein $x\in A$ slik at $f(x)=X$. Viss $x\in f(x)$, får me frå definisjonen av $X$ at $x\not \in f(x)$ og dette er ein sjølvmotseiing. Viss derimot $x\not \in f(x)$ får me igjen frå definisjonen av $X$ at $x\in f(x)$ og dette er ein sjølvmotseiing. Det kan derfor ikkje eksistera ein bijeksjon $f$. Derimot finst det ein injeksjon $g:A\to 2^{A}$ gitt ved $g(a)=\{a\}$. Dette viser at $A$ har strengt mindre kardinalitet enn $2^{A}$.

Denne matteartikkelen er ei spire. Du kan hjelpe Nynorsk Wikipedia gjennom å utvide han.