Kardinalitet

I matematikk er kardinalitet av ei mengd den eigenskapen som skildrar storleiken av mengda ved å bruke eit kardinaltal. Nokre gonger brukar vi omgrepet på ein numerisk måte. For endelege mengder er då kardinaliteten mengda element i mengda.

Samanlikning av mengder

Når vi samanliknar to mengder, seier vi at ei mengd A og ei mengd B har same kardinalitet viss og berre viss det eksisterer ein bijeksjon, dvs. ein injektiv (ein-til-ein-) og ein surjektiv (på-) funksjon mellom dei to mengdene. Til dømes har mengda av partal den same kardinaliteten som mengda av naturlege tal, sidan funksjonen f(n) = 2n er ein bijeksjon. Bijeksjonar blir òg kalla ein-til-ein-korrespondanser.

Telbare og ikkje-telbare mengder

Kvar og ei mengd som har den same kardinaliten som mengda av naturlege tal, blir sagt å vere ei telbar uendeleg mengd viss kardinaliteten er mindre enn den for dei naturlege tala når han er ei endeleg mengd, elles er mengda ikkje-telbar.

Kardinaliteten for dei naturlege tala er alef-null ( ${\aleph _{0}}$ ), medan kardinaliteten for dei reelle tal er $2^{\aleph _{0}}$ .

Kardinaliteten for dei naturlege tala er mindre enn kardinaliteten for dei reelle tala (jf. Cantors diagonalargument). Kontinuumhypotesen uttrykkjer at det ikkje finst noko kardinaltal mellom kardinaliteten for dei reelle tala og kardinaliteten for dei naturlege tala. (Denne hypotesen er uavhengig av Zermelo-Fränkels aksiomsystem, og kan difor ikkje bevisast eller bli motprova i dette systemet.)

Døme og øvrige eigenskapar

Viss til dømes mengda X er definert av X = {a, b, c}, og mengda Y av Y = {eple, appelsinar, pærer}, så gjeld card A = card B, dvs. dei har begge tre element.
Viss ein har to mengder X og Y og card X er mindre enn eller lik card Y, då finst det ei mengd Z som er ei delmengd av Y slik at card X = card Z.

Ein slik eigenskap tillèt samanlikning av kor mange element som er innehalde i to eller fleire mengder utan behov for ei mellommengd (dvs. dei naturlege tala).

Innanfor området ikkje-telbare mengder, finst det ei klasse av mengder Y slik at card Y = card R, der R er mengda av reelle tal. Slike mengder blir sagt å ha «kontinuumet sin kardinalitet».
Det kan bevisast at det ikkje finst ei mengd X slik at card Y < card X for ei vilkårleg mengd Y.

Tekn at det finst ei slik mengd og kall denne X. La Y vere potensmengda av X, card Y = 2^(card X). Av dette følgjer sjølvmotseeinga card Y > card X.

Sjå òg

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Kardinalitet» frå Wikipedia på bokmål, den 13. september 2011.