Fakultet i matematikk

n n!
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
15 1307674368000
20 2432902008176640000
25 1.5511210043×1025
50 3.0414093202×1064
70 1.1978571670×10100
100 9.3326215444×10157
170 7.2574156153×10306
171 1.2410180702×10309
450 1.7333687331×101 000
1000 4.0238726008×102 567
3249 6.4123376883×1010 000
10000 2.8462596809×1035 659
25206 1.2057034382×10100 000
100000 2.8242294080×10456 573
205023 2.5038989317×101 000 004
1000000 8.2639316883×105 565 708
1.0248383838×1098 101.0000000000×10100
10100 109.9565705518×10101
1.7976931349×10308 105.5336665775×10310

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

Døme:

DefinisjonEndra

Formelt kan ein definere n-fakultet som

 

eller rekursivt ved

 .

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet

 

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

BrukEndra

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

 

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

 

VekstrateEndra

 
Plott av den naturlege logaritmen til n!

Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,

 

Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

 

Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

GammafunksjonenEndra

 
Gammafunksjonen
For meir om dette emnet, sjå gammafunksjonen.

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved

 

For heile, positive tal og null   gjeld det at

 

HistorieEndra

Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

KjelderEndra

BakgrunnsstoffEndra