Fakultet i matematikk

Fakultet eller n-fakultet er i matematikk ein funksjon som bereknar produktet av dei naturlege tala frå 1 til n. Funksjonen er skriven som symbolet n!, som blir lese som n-fakultet.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
15	1307674368000
20	2432902008176640000
25	1.5511210043×10²⁵
50	3.0414093202×10⁶⁴
70	1.1978571670×10¹⁰⁰
100	9.3326215444×10¹⁵⁷
170	7.2574156153×10³⁰⁶
171	1.2410180702×10³⁰⁹
450	1.7333687331×10^1 000
1000	4.0238726008×10^2 567
3249	6.4123376883×10^10 000
10000	2.8462596809×10^35 659
25206	1.2057034382×10^100 000
100000	2.8242294080×10^456 573
205023	2.5038989317×10^1 000 004
1000000	8.2639316883×10^5 565 708
1.0248383838×10⁹⁸	10^{1.0000000000×10¹⁰⁰}
10¹⁰⁰	10^{9.9565705518×10¹⁰¹}
1.7976931349×10³⁰⁸	10^{5.5336665775×10³¹⁰}

Døme:

4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24

Definisjon

Formelt kan ein definere n-fakultet som

n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad \forall n\in \mathbb {N} \!

eller rekursivt ved

n!={\begin{cases}1&{\text{ viss }}n=0\\n(n-1)!&{\text{ viss }}n>0\\\end{cases}}\qquad \forall n\in \mathbb {N} .

.

Begge definisjonane inkluderer spesialtillfellet

0!=1\

Funksjonsverdiane definerer ei uendeleg talfølgje som byrjar med 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800 ...

Bruk

Fakultet opptrer naturleg i mange problem i kombinatorikk: Mengda måtar ein kan ordne n objekt i rekkefølgje er lik n!. Mengda måtar ein kan velje ut k objekt frå ei samling på n objekt er gjeven ved binomialkoeffisienten, definert ved

{n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.

Bruken av fakultet forenklar òg notasjonen i arbeid med følgjer og rekker. Den matematiske konstanten e kan til dømes definerast som

e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}

Vekstrate

Plott av den naturlege logaritmen til n!

Når n aukar vil n-fakultet vokse fortare enn eit vilkårleg polynom p(n) samt fortare enn eksponensialfunksjonen med argument n. Ein asymptotisk tilnærming av n! er gjeven ved Stirlings formel,

n!\sim \left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{\sqrt {2\pi n}}.

Frå Stirlings formel kan ein òg utleie ei enkel tilnærming for den naturlege logaritmen til n! ,

\log n!\approx n\log n-n+{\frac {\log n}{2}}+{\frac {\log(2\pi )}{2}}.

Frå dette kan ein sjå at log n! er av orden n log n, eit resultat som er viktig for analyse av sorteringsalgoritmer.

Gammafunksjonen

For meir om dette emnet, sjå gammafunksjonen.

Gammafunksjonen er ei generalisering av fakultet, der definisjonsområdet er utvida frå dei naturlege tala til å omfatte alle relle tal. Funksjonen er definert ved

\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}dt

For heile, positive tal og null $(n=0,1,2,...)$ gjeld det at

n!=\Gamma (n+1)\,

Historie

Notasjonen n! vart innført av den franske matematikeren Christian Kramp i 1808, i verket Éléments d'arithmétique universelle.

Kjelder

Denne artikkelen bygger på «Fakultet (matematikk)» frå Wikipedia på bokmål, den 11. september 2011.

Bakgrunnsstoff

factorielle.free.fr