Opna hovudmenyen

Ei følgje er i matematikk ei ordna liste av objekt i ei mengd. Mengde objekt eller ledd i følgja kan vere endeleg eller telbart uendeleg, og det vil seie at objekta kan nummererast ved hjelp av dei naturlege tala.

Dersom det n-te leddet i ei uendeleg følgje i eit metrisk rom nærmar seg ein grenseverdi når n aukar, blir det sagt at følgja er konvergent. Ei følgje som ikkje er konvergent er divergent. Følgjer opptrer i alle område av matematikk, og studiet av følgjer er ein viktig del av matematisk analyse. Konvergente følgje spelar ei spesielt viktig rolle, blant anna i definisjonen av irrasjonale tal.

Følgjer der elementa er reelle eller komplekse tal kallast ofte talfølgjer. Tilsvarande er ei funksjonsfølgje ei følgje der elementa er funksjonar. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er ein database over følgjer av heiltal.

Ei rekkje er definert som summen av ei endeleg eller uendeleg følgje.

Formell definisjonEndra

Ei uendeleg følgje er ein funksjon frå mengda av dei naturlege tala N:

 

Følgje vert sagt å vere definert i mengda V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiane   vert kalla ledda i følgja.

Alle dei følgjande døma indikerer vanleg notasjon for ei følgje:

 

For ei endeleg følgje vert det nytta ei endeleg delmengd av N som indeksmengd i staden for N. Vanlegvis nyttast mengda   eller mengda   for ei følgje med n element.

Grenseverdi og konvergensEndra

Ei følgje   i eit metrisk rom konverger mot ein grenseverdi x dersom det for ein kvar verdi av epsilon   eksisterer eit heiltal N slik at

 

der d er metrikken. Eksistensen av ein grenseverdi kan skrivast som

 .

Definisjonen kan kompakt skrivast som

 

CauchyfølgjerEndra

Ei cauchyfølgje eller ei fundamentalfølgje er ei følgje i eit metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlege element gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgja dei to elementa er.

Eit metrisk rom vert sagt å vere komplett dersom ei kvar cauchyfølgje i rommet konvergerer mot ein grenseverdi som er inneheldt i rommet. Mengda av reelle tal er komplett, medan mengda av rasjonale tal ikkje er det.

Avgrensa følgjerEndra

Ei følgje   i eit metrisk rom er avgrensa dersom verdiområdet er avgrensa. Det vil si at det eksisterer eit element x i det metriske rommet og ein konstant M slik at

 .

Ei kvar konvergent følgje er avgrensa.

Monotone følgjerEndra

Ei følgje av reelle tal   er monoton dersom ho er opptil eller nedtil monoton:

 

Ei opptil monoton følgje vert òg kalla monotont veksande. Ei monoton minkande følgje er det same som ei nedtil monoton følgje.

Ei monoton følgje er konvergent visst og berre visst ho er avgrensa.

DelfølgjerEndra

Ei delfølgje er avleidd frå ei følgje   ved å velje ut ei delmengd av ledda, men halde rekkefølgja. La   vere ein monoton veksande følgje av naturlege tal. Ei delfølgje kan då skrivast som

 

Som døme er   ei delfølgje av følgja  .

Dersom delfølgja er konvergent med grenseverdi x, seier ein at x òg er ei delfølgjegrense for følgja  .

Bolzano-Weierstrass' teorem kan formulerast som at ei kvar avgrensa følgje av reelle tal inneheld ei konvergent delfølgje.

CauchyproduktEndra

Cauchyproduktet av to følgjer   og   er definert som ei ny følgje   der kvart ledd er definert ved summasjonen

 

DømeEndra

Døme 1: Aritmetiske følgjerEndra

Ei aritmetisk følgje er ei talfølgje der differensen mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

 

Aritmetiske følgjer er divergente for alle verdiar av konstanten d ulik null.

Døme 2: Geometriske følgjerEndra

Ei geometrisk følgje er ei talfølgje der forholdet mellom to påfølgjande ledd er konstant, dvs

 

Følgjene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.

Døme 3: Harmoniske følgjerEndra

I ei harmonisk følgje er ledda definert som inversen av ledda i ei aritmetisk følgje. Dersom følgja   er ei aritmetisk følgje med ledd ulik null, så vil   vere ei harmonisk følgje. Ledda i ei harmonisk følgje kan definerast ved

 

der d er ein konstant slik at (-1/d) ikkje er eit naturleg tal.

Døme 4: FibonaccifølgjeEndra

Ei fibonaccifølgje er definert rekursivt ved

 

Fibonaccifølgja er divergent.

Døme 5: Følgje for EulertaletEndra

 

Grenseverdien er eulertalet e.

Døme 6Endra

 

Døme 7Endra

 

Sjå ògEndra

KjelderEndra

  • Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.  Sjekk datoverdiar i |dato= (hjelp)