Harmonisk oscillator

Ein harmonisk oscillator i fysikken vert skildra av ein storleik som svingar (oscillerer) omkring likevektsposisjonen sin, t.d. eit svingande lodd hengjande i ei fjør eller ein pendel som går fram og tilbake. Ein rein, matematisk, harmonisk oscillator vil svinge med sinusform for all tid med ein gjeven frekvens og utslag (amplitude). I praksis er passive fysiske oscillatorar dempa, dvs. at utslaga blir mindre og mindre til dei døyr ut. Aktive oscillatorar (der energi blir tilført) svingar til energitilførselen stoppar.

Harmonisk pendel, der farten V og akselerasjonen A er illustrert med vektorar.

Teori

Harmoniske oscillatorar er ekstremt viktige sidan dei kan brukast til å skildre de fleste typane svingingar omkring likevektsposisjonar, ikkje berre mekaniske, men òg t.d. elektriske svingingar i elektroniske kretsar, eller gittersvingingane til atoma i ein krystall. Reine harmoniske oscillatorar finst endå ikkje, slik at den reine harmoniske oscillatoren alltid vil vere ei tilnærming. Svingingane for ein rein oscillator er alltid sinusforma.

I kvantemekanikken er harmoniske oscillatorar òg særs sentrale, sjå kvantemekanisk harmonisk oscillator.

Matematisk formulering

La oss tenke oss ein punktpartikkel med tidsavhengig posisjon x(t) og masse m kopla på ei fjør med fjørkonstant k. I følgje Hooke-lova føler partikkelen då ei kraft

$F=-kx(t)\,$

dvs. krafta har alltid motsett forteikn av x og prøver å trekke partikkelen mot origo. Newtons andre lov gjev følgjande differensiallikning

$m{\frac {\partial ^{2}x(t)}{\partial t^{2}}}=-kx(t)$

Løysinga av denne likninga kan skrivast på fleire måtar, t.d.

$x(t)=A~\cos(\omega t+\phi )$

med vinkelfrekvens $\omega ={\sqrt {k/m}}$, amplitude A og fasefaktor $\phi$. Fasefaktoren fortel i kva posisjon han starta i og amplituden er maksimalt utslag. For ei fjør som vert trekt og sloppen er $\phi =0$ og A er posisjonen ho vert sloppen frå.

Vinkelfrekvensen $\omega$ seier at oscillatoren svingar raskare om massen blir mindre eller fjørkonstanten større.

Den kinetiske energien til systemet er

$E_{k}={\frac {1}{2}}m\left({\frac {\partial x(t)}{\partial t}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}kA^{2}\sin ^{2}(\omega t+\phi )$

Tilsvarande for den potensielle energien

$E_{p}={\frac {1}{2}}kx^{2}(t)={\frac {1}{2}}kA^{2}\cos ^{2}(\omega t+\phi )$

Summen gjev

$E=E_{k}+E_{p}={\frac {1}{2}}kA^{2}\,$

og den totale mekaniske energien er bevart. Den totale energien er avhengig av amplituden og fjørkonstanten k, men er uavhengig av massen og fasefaktoren.

Bruksområde

Den harmoniske oscillatoren er eit viktig døme i fysikkundervisning, sidan likningane er forholdsvis lett handterlege, gjev ei forståing for oscillasjonar og kan relaterast til kvardagslege fenomen.

Spenninga i det norske straumnettet er éit døme på ein storleik som oscillerer harmonisk. Amplituden er på cirka 320 volt (med ein effektivverdi av 230 volt), og frekvensen er 50 Hz. Gamle pendelur gjer seg nytte av det faktumet at svingeperioden til pendelen er essensielt uavhengig av utslaget, så lenge utslaget er lite. Dette gjer at ein klokke-eigar slepp å tenkja på kor mykje han eller ho trekkjer pendelen ut til sida.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Harmonisk oscillator» frå Wikipedia på bokmål, den 3. mai 2013.