Hyperbel

Hyperbel er ei kurve, ei glatt kurve som ligg i planet. Ein hyperbel har to delar, som ein kallar samanhengande komponentar, dei er speglbilete av kvarandre og liknar to uendelege bogar. Hyperbelen er ein av dei fire kjeglesnitta ein har, som dannar seg i skjeringspunkta mellom ei kjegle og ei flate. Dei andre kjeglesnitta er parabel, ellipse og sirkelen (som i røynda er eit spesialtilfelle av ein ellipse). Det er vinkelen mellom kjegla og flata som avgjer kva type kjeglesnitt ein får. Om vinkelen mellom planet og aksen til kjegla er mindre enn vinkelen mellom linja til kjegla og aksen, eller planet er parallell til aksen, så er kjeglesnittet ein parabel.

Asymptotane til ein hyperbel (raud kurve) er synt som blå stipla linjer og skjer kvarandre i senteret av hyperbelen, C. Dei to brennpunkta er merka F₁ og F₂, og den tynne svarte linja mellom dei er tverraksen. Den vinkelrette tynne svarte linja gjennom senteret er den konjugerte aksen. Dei to tjukke svarte linjene som er parallelle til den konjugerte aksen er to direktriser D₁ og D₂. Eksentrisiteten e er lik forholdet mellom avstandane frå eit punkt P på hyperbelen og til eit brennpunkt og den samsvarande direktrisa (synt i grønt). Dei to toppunkta ligg på tverraksen ved ±a relativt til origo. Så parametrane er:

a — avstanden frå senteret C til eit av toppunkta
b — lengda til eit vinkelrett segment frå kvart toppunkt til asymptotane
c — avstanden frå senteret C til eit av brennpunkta, F₁ og F₂, og
θ — vinkelen danna av kvar asymptote med tverraksen.

Grafen til ein hyperbel.

To sett hyperblar som deler same asymptote.

Ein hyperbel er ein funksjon med forma

$\ f(x)={\frac {a}{x}}$, når a er ein konstant og x, som er ein variabel, er forskjellig frå null. Ein hyperbel har eit brotpunkt når nemnaren er lik null, det vil seia at grafen gjer eit slags hopp og ikkje er kontinuerleg. Ved brotpunktet kan ein teikne inn ein vertikal asympote som grafen ikkje er i kontakt med. Han har likninga x = brotpunktet.

Når $\lim _{x\to \infty }f(x)=L$ er L eit bestemt punkt på y-aksen. Dette punktet finn ein ved å la stigningstala stå att medan ein tar bort konstantledda. Likninga for den horisontale asymptoten vil bli $f(x)={\frac {ax}{bx}}$.

Om tverraksen til ein hyperbel ligg langs x-aksen i eit kartesisk koordinatsystem og senteret er i origo, så kan likninga til ein hyperbel skrivast

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Ein hyperbel der tverraksen ligg langs y-aksen har likninga

$-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Hyperbola» frå Wikipedia på engelsk, den 21. november 2011.