Hypsometrisk likning

Hypsometrisk likning er ei likning som gjev forholdet mellom lufttrykket og tjukkleiken av eit atomsfærelag så lenge ein har konstant temperatur og gravitasjon. Likninga vert utleidd av hydrostatisk likning og den ideelle gasslova.

$\ h=z_{2}-z_{1}={\frac {R\cdot T}{g}}\cdot ln\left[{\frac {P_{1}}{P_{2}}}\right]$

der:

$\ h$ = Tjukkleiken på laget i meter

$\ z$ = Geopotensiell høgd i meter

$\ R$ = Gasskonstant for tørr luft

$\ T$ = Temperatur i kelvin

$\ g$ = Tyngdeakselerasjon

$\ P$ = Trykk

I meteorologi er $P_{1}$ og $P_{2}$ isobarflater og T er middeltemperaturen i laget mellom dei. I høgdemåling med Internasjonal Standard Atmosfære vert den hypsometriske likninga brukt til å rekne ut ei gjeve geopotensiell høgd i isoterme lag i den øvre og lågare stratosfæren.

Utleiing

Hydrostatisk likning:

$\ P=\rho gz$

der $\ \rho$ er tettleik, vert brukt som likning for hydrostatisk likning, skriven på differensialform:

$dP=-\rho \cdot g\cdot dz$

som kombinert med den ideelle gasslova

$\ P=\rho RT$

for å elliminere $\ \rho$ vert:

${\frac {\mathrm {d} P}{P}}=-{\frac {g}{RT}}\,\mathrm {d} z$

Denne vert integrert frå $\ z_{1}$ til $\ z_{2}$:

$\ \int _{p(z_{1})}^{p(z_{2})}{\frac {\mathrm {d} P}{P}}=-\int _{z_{1}}^{z_{2}}{\frac {g}{RT}}\,\mathrm {d} z$.

Ved å integrere venstre sida får ein: $\ln \left({\frac {P(z_{2})}{P(z_{1})}}\right)$.