Likning

Denne artikkelen handlar om likningar i matematikken. For andre tydingar av oppslagsordet, sjå religiøs likning.

Døme på likningar ${\begin{alignedat}{2}2+2&=4\\x+7&=10\\(x+1)(x-1)&=x^{2}-1\\\end{alignedat}}$

Ei likning er ei matematisk utsegn som uttrykker at to storleikar er like. Likninga inneheld ei venstreside og ei høgreside, delt av eit likskapteikn.

Ei likning kan ha ein eller fleire ukjende variablar. Ofte vert «x», «y» og «z» brukt som nemningar på variablane. Å løysa ei likning vil seia å finna desse ukjente variablane, gjerne under visse andre føresetnadar. Tilleggsføresetnadane kan til dømes vera at variablane skal vera reelle tal eller at dei skal oppfylla bestemte tilleggslikningar.

Å løysa likningar

Formelt kan ei likning skrivast som f(x) = g(x), der x står for ein vektor av variablar. Å løysa ei likning vil seia å finna alle moglege eksplisitte uttrykk for vektoren x. Ein standardteknikk for å få dette til er å finna ein funksjon h slik at x = h(f(x)) = h(g(x), der uttrykket til høgre er uavhengig av variablane. Som oftast vert denne funksjonen funne i løpet av fleire trinn. Ofte må me også dela oppgåva opp i fleire segment ved å nytta såkalla multifunksjonar.

Likning med ein ukjend

Tenk på likninga som ei vekt. For at likninga skal vera i balanse, må begge sidene vera like. Dette gjer du ved å gjera det same med begge sidene. Viss det står + 6, så legg du til -6 på begge sider for å flytta til andre sida.

2x + 6 = 4x - 6
Likninga
2x + 6 - 4x - 6 = 4x - 6 - 4x - 6
Samla ledda med x på venstre sida og dei reine tala på høgre sida
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6
Løysinga

Det går an å gjera det enklare:

2x + 6 = 4x - 6
2x - 4x = -6 - 6
-2x / -2 = -12 / -2
x = 6

Likningar med to ukjende

For meir om dette emnet, sjå Lineært likningssystem.

For å løysa likningar der to variablar er ukjende, må ein ha eit «likningssett», altså to definisjonar av verdien til den andre ukjende.

y = 2x + 18
y = 3x - 9

Det finst tre typiske måtar å løysa likningssettet på.

Grafisk løysing

Du kan teikna eit koordinatsystem og teikna inn funksjonane y = 2x + 18 og y = 3x - 9. Der linene møtest, finn du x og y som koordinata til skjæringspunktet. Men dette er til dels unøyaktig fordi skjæringspunktet blir funne på augemål.

Innsetjingsmetoden

Tilpass likningane slik at ein av dei ukjende er åleine på den eine sida i minst ei av likningane, sett denne verdien inn i den andre likninga, og løys resultatet som ei likning med ein ukjend:

y = 2x + 18
y = 3x - 9

2x + 18 = 3x - 9
2x - 3x = -9 - 18
-x / -1 = -27 / -1
x = 27

Så set du inn verdien 27 for x, og finn ut kor mykje y er.

y = 2x + 18
y = 2 * 27 + 18
y = 54 + 18
y = 72

Eller:

y = 3x - 9
y = 3 * 27 - 9
y = 81 - 9
y = 72

Addisjonsmetoden

Tilpass likningane slik at faktoren foran den eine ukjende er motsett (t.d. 3 og -3) i dei to likningane, addér likningane, og løys resultatet som ei likning med ein ukjend:

y = 2x + 18 | * -1,5
+ y = 3x - 9
-----------------------------
-1,5y = -3x - 27
+ y = 3x - 9
-----------------------------

Sjå korleis 3x forsvinn:

-0.5y * -2 = -36 * -2
y = 72

Så snur du likningssettet:

y = 2x + 18
2x + 18 = 72
2x = 72 - 18
2x = 54
2x / 2 = 54 / 2
x = 27

Eller:

y = 3x - 9
3x - 9 = 72
3x = 72 + 9
3x = 81
3x / 3 = 81 / 3
x = 27

Andregradslikningar

Andregradslikningar er likningar der eit av ledda er i andre potens.

$ax^{2}+bx+c=0$

Den generelle formelen for å løysa andregradslikningar er

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Teiknet ± tyder pluss eller minus.

Døme:

$-14x^{2}+9x+1000=0$

${\begin{matrix}x&=&{\frac {-9\pm {\sqrt {9^{2}-4\cdot -14\cdot 1000}}}{2\cdot -14}}\\x&=&{\frac {-9\pm {\sqrt {81+56000}}}{-28}}\\\end{matrix}}$

x er to forskjellige tal.

${\begin{matrix}x&=&{\frac {-9+236,814}{-28}}\\x&=&-8,136\\\end{matrix}}$

Teiknet ∨(ikkje v, men eit teikn som liknar mykje) tyder eller.

${\begin{matrix}x&=&{\frac {-9-236,814}{-28}}\\x&=&8,779\end{matrix}}$

Bakgrunnsstoff

• ligning - matematikk i Store Norske Leksikon