Opna hovudmenyen

Dei reelle tala er ei komplettering av dei rasjonelle tala. Alle reelle tal har ein desimaltalrepresentasjon som eller , der er eit naturleg tal og alle er siffer i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Reelle tal omfattar rasjonelle tal som 1, 5 og 21/7, men også irrasjonelle tal som og . Dei reelle tala er ei delmengd av dei komplekse tala.

Eit reelt tal kan ha opptil to ulike desimaltaltalrepresentasjonar. Til dømes er 0.9999... og 1.000... representasjonar av det same reelle talet. At nokre reelle tal har to representasjonar og andre berre eitt skuldast at ein desimaltalrepresentasjonen er ein konvensjon basert på titalssystemet; det er ikkje sjølve essensen til dei reelle tala.

Cantor-Dedekinds aksiom seier at dei reelle tala er ordensisomorfe med det lineære kontinuumet i geometrien. Det vil seia at det finst ein bijeksjon mellom reelle tal og punkt på ei line. Dette er ikkje eit aksiom i ordinær forstand.

Innhaldsliste

Definisjon og konstruksjonEndra

Dei reelle tala er den unike, komplette, ordna kroppen   som har dei rasjonelle tala   som ein underkropp:

  • Dersom  , så gjeld éin av  ,   og  .
  • Dersom  ,   og  , så er også  .
  • Dersom   er ikkje-tom og bunden ovanfrå, så finst   (komplettleiksprinsippet).
  •   er ei abelsk gruppe med identitet 0:
    • Dersom  , så er  .
    • Dersom  , så er   (kommutativitet).
    • Dersom  , så er   (assosiativitet).
    • Det finst   slik at   for alle   (identitetselement).
    • Dersom  , så finst   slik at   (inverse element).
  •   er ei abelsk gruppe med identitet 1:
    • Dersom  , så er  .
    • Dersom  , så er   (kommutativitet).
    • Dersom  , så er   (assosiativitet).
    • Det finst   slik at   for alle   (identitetselement).
    • Dersom  , så finst   slik at   (inverse element).
  • Multiplikasjon distribuerer over addisjon: Dersom  , så er  
  •   er ein underkropp:
    •  
    • Ordenen til   samenfell med ordenen til   når brukt på rasjonelle tal.
    • Addisjon i   samenfell med addisjon   når brukt på rasjonelle tal.
    • Multiplikasjon i   samenfell med multiplikasjon i   når brukt på rasjonelle tal.

Denne definisjonen gjev i seg sjølv ikkje ei sikring av at dei reelle tala finst eller at dei er unikt definerte; me må følgja definisjonen opp med ein konstruksjon av dei reelle tala frå dei rasjonelle tala. Det finst i alle fall tre ulike, men på eit vis ekvivalente framgangsmåtar:

Dei reelle tala som DedekindkuttEndra

Ei delmengd   er eit Dedekindkutt dersom

  •   og  .
  • Dersom  ,   og  , så   (E inneheld alle rasjonelle tal lågare enn p dersom p er i E).
  • Dersom  , så finst   slik at   (E har ingen største element).

Dei reelle tala er mengda av Dedekindkutt;

  •   dersom E er ei ekte delmengd av F.
  •   er mengda av alle  , der   og  . 0* er Dedekindkuttet av negative rasjonelle tal.
  • Dersom   og  , så er   mengda av alle  , der   og   er ikkje-negative.
  •  .
  •   for   og  .
  •   for   og  .
  •   for   og  .

Denne konstruksjonen vart gjennomført av Dedekind i 1872.

Dei reelle tala som CauchyfølgjerEndra

Ei Cauchyfølgje blant dei rasjonelle tala er ei følgje   slik at for alle omegn U om 0 finst eit naturleg tal N slik at   for alle  . To Cauchyfølgjer   og   er ekvivalente dersom   i   med den vanlege topologien indusert av metrikken  . Dei reelle tala er då mengda av ekvivalensklassane og er kompletteringa av dei rasjonelle tala. Ei alternativ formulering er at  , der N er idealet av nullfølgjer i ringen F av cauchyfølgjer i  . Denne konstruksjonen vart gjennomført av Cauchy i 1871.

Dei reelle tala som nøsta intervallEndra

La   vera ei følgje av lukka, avgrensa intervall i  , slik at  . Dersom lengda av intervalla går mot null, så er eit bestemt reelt tal det unike talet som finst i alle desse mengdene. Dette argumentet vart gjort i detalj av Bachmann i 1892 (intervallinnkapslingsmetoden).

Tarski si aksiomatiseringEndra

Eit alternativt aksiomsystem for dei reelle tala er:

  • < er ein asymmetrisk binær operasjon som er Dedekindkomplett og tett i mengda  .
  • + er ein assosiativ operasjon på   og for alle x og y finst z slik at x + z = y.
  • Dersom  , så er anten   eller   og det finst eit element 1 i   slik at 1 < 1 + 1.

Sjå Tarski si aksiomatisering av dei reelle tala.