Metrisk rom

Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjon

Eit metrisk rom $(V,d)$ er ei mengd $V$ der det er definert ein metrikk $d$, det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

$d:V\times V\to \mathbb {R} ^{+}$

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle $x,y,z\in V$, har me

• (ikkje-negativitet) $d(x,y)\geq 0$
• $d(x,y)=0$ viss og berre viss $x=y$
• (symmetri) $d(x,y)=d(y,x)$
• (trekantulikskapen) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

Komplette metriske rom

Eit metrisk rom $(V,d)$ blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i $V$.

Mengda av reelle tal $\mathbb {R}$ under metrikken $d(x,y)=|x-y|$ er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal $\mathbb {Q}$ med same metrikk. I $\mathbb {Q}$ er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

$\epsilon$-omegn

Ein $\epsilon$-omegn til eit element $a$ i eit metrisk rom $(V,d)$ er definert som ei mengd

$\{x\in V|\ d(x,a)<\epsilon \}\,$

Ei punktert $\epsilon$-omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet $a$:

$\{x\in V|\ 0<d(x,a)<\epsilon \}\,$

Avgrensa mengd i eit metrisk rom

Ei undermengd $S$ i eit metrisk rom $(V,d)$ er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt $x\in S$ og ein positiv konstant $M$ slik at for alle $y\in S$

$d(x,y)<M$

Døme på metriske rom

• Mengda av reelle tal $\mathbb {R}$ under metrikken $d(x,y)=|x-y|$ er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma $\mathbb {R} ^{n}$ metrisk rom.
• Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken $d(x,y)=\|x-y\|$.

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Metrisk rom» frå Wikipedia på bokmål, den 14. januar 2012.