Eit metrisk rom i matematikk er ei mengd der det er definert ein metrikk eller eit avstandsmål mellom to vilkårlege element i mengda.

Eit metrisk rom har ein struktur berre bygd opp omkring avstanden mellom to objekt, og definisjonen gjer det mogleg å studere matematiske samanhengar basert på dei formelle eigenskapane til avstandsmålet. Eit matematisk resultat der beviset byggjer eine og åleine på dei generelle eigenskapane til ein metrikk, vil vere gyldig i alle metriske rom.

Formell definisjonEndra

Eit metrisk rom   er ei mengd   der det er definert ein metrikk  , det vil seie ein funksjon som for to element i mengda returnerer eit ikkje-negativ reelt tal:

 

Funksjonen må oppfylle følgjande aksiom. For alle  , har me

  • (ikkje-negativitet)  
  •   viss og berre viss  
  • (symmetri)  
  • (trekantulikskapen)  

Komplette metriske romEndra

Eit metrisk rom   blir sagt å vere komplett dersom ei kvar Cauchyfølgje konvergerer til eit element som òg ligg i  .

Mengda av reelle tal   under metrikken   er eit komplett metrisk rom. Det er derimot ikkje mengda av rasjonale tal   med same metrikk. I   er det mogleg å konstruere Cauchyfølgjer som konvergerer mot eit grense som sjølv ikkje er eit rasjonalt tal.

-omegnEndra

Ein  -omegn til eit element   i eit metrisk rom   er definert som ei mengd

 

Ei punktert  -omegn er definert tilsvarande ved å ekskludere elementet  :

 

Avgrensa mengd i eit metrisk romEndra

Ei undermengd   i eit metrisk rom   er avgrensa dersom det eksisterer eit objekt   og ein positiv konstant   slik at for alle  

 

Døme på metriske romEndra

  • Mengda av reelle tal   under metrikken   er eit metrisk rom. Meir generelt er alle dei euklidske romma   metrisk rom.
  • Eit kvart normert vektorrom er òg eit metrisk rom definert med metrikken  .

KjelderEndra