Newtons metode

Newtons metode i kalkulus, òg kjend som Newton-Raphson-metoden, er ein iterativ metode for å finna nullpunkta til ein gjeven funksjon , altså løysinga av .

Han må ikkje blandast saman med newtons metode i optimering, som baserer seg på å finna stasjonære punkt for ein gjeven funksjon .

DefinisjonEndra

Gjeve eit startpunkt   som den iterative metoden startar frå og ein funksjon   ein ønskjer å finna nullpunkta til, så er newtons algoritme i kalkulus gjeven som

 

Her er   den deriverte av  . Under særskilde føresetnadar bundne av valet av startpunkt  , så vil følgja   konvergera mot løysinga  .

I det høvet der   er ein vektorvaluert funksjon, så vert dette:

 

  er her kjend som jakobimatrisa for funksjonen  .

Utleiing av definisjonEndra

Ein ønskjer å finna nullpunkta for ein funksjon  , altså løysinga av   ved ein iterativ algoritme på forma:

 

som vil konvergera mot løysinga   gjeve eit særskilt startpunkt   og eit steg  . Me ønskjer i denne seksjonen å motivera steget  . For eit gjeve punkt   så ønskjer me å tilnærma funksjonen   i punktet og analysera kva for ein   for eit punkt   som fører til at ein går mot eit minimum,

altså ei løysing av  . Newtons metode går ut på å gjera dette og å tilnærma funksjonen i punktet ved hjelp av taylorpolynom.

For ein fleirvariabels funksjon   så er taylorpolynomtilnærminga av funksjonen   gjeven som:

 

Det vert då nytta ei førsteordens taylorpolynomtilnærming av funksjonen i punktet, som er ei rett linje og er tangent til punktet  :

 

Me finn den  -en sånn at denne tilnærminga (tangentfunksjonen) er 0. Løyser ein dette (  med omsyn på  ), så får ein newtonsteget:

 

Newtonsteget i Newtons metode i kalkulus er altså utleitt frå ei førsteordens taylorpolynomtilnærming for funksjonen. For denne tilnærminga løyser ein   med omsyn på  . Ein får då punktet   som minimerer tangentfunksjonen i punktet  .

Ut i frå  , så får me då: