Tropisk geometri

Tropisk geometri er eit relativt nytt område innan matematikk. Dei grunnleggande ideane har alt vorte nemnd på anna form i arbeida til Bergman, Bieri og Groves, men det er først sidan slutten av 1990-åra at ein har byrja å arbeide seriøst med teorien på området. Dette oppstod mellom anna då Grigorij Mikhalkin oppdaga at det var ein særs nyttig metode innan opptellingsgeometri. Sidan dette framleis er eit nytt forskingsområde finst det enno ikkje ei standardformulering av teorien, nokre definisjonar er ikkje universelt akseptert og nokre grunnleggande resultat manglar prov.

Adjektivet tropisk er til ære for den brasilianske matematikaren Imre Simon som var ein pioner innan fagfeltet og har ikkje noko djupare meining utover dette.

Grunnleggande definisjonar

Det som skil reknemåten i tropisk geometri frå vanleg rekning er at summen av to tal alltid er lik det største talet altså vert 2 + 5 = 5. Produktet mellom to tal i tropisk geometri vert lik summen av dei to tala med vanleg rekning, altså 2 x 5 = 7. Nokre matematikarar har òg definert dette som at summen av to tal skal vere lik det minste av dei to tala For å unngå forvirring med bruk av dei matematiske operasjonane (pluss og multiplikasjon) har ein vald å setje ein ring rundt symbolet, ein såkalla «tropisk semiring».

Definisjonane vert uttrykt matematisk som følgjande:

$x\oplus y=\max\{\,x,y\,\},\,$ eller $x\oplus y=\min\{\,x,y\,\},\,$, alt etter kva kjelder ein les.

$x\otimes y=x+y.\,$

Uansett om summen av to tal er det største eller det minste av dei to tala, så følgjer tropisk geometri mange av dei same reglane som i vanleg rekning. Døme:

$x\oplus y=y\oplus x$

$x\otimes y=y\otimes x$

$x\otimes (x\oplus z)=x\otimes y\oplus x\otimes z$

Operasjonen $x\ominus y$ vil derimot ikkje gje meining. For om $x\ominus 10=14$ så kan x her vere kva tal som helst.

Bakgrunnsstoff

Grunnleggjande artiklar

• Første steg i tropisk geometri
• Tropisk geometri i statistiske modellar
• Enumerativ tropisk algebraisk geometri i R2
• Amøber med algebraisk mangfald og tropisk geometri
• Tropisk matematikk
• Ikkje-arkimedisk amøber og tropisk mangfald
• Utrekning og tropisk mangfald
• Tropisk geometri og nytteverdiane
• Tropisk algebraisk geometri

Populærvitskapleg

• Forskning.no Arkivert 2008-04-06 ved Wayback Machine.

Kjelder

• Delar av artikkelen bygger på «Tropical geometry» frå Wikipedia på engelsk, den 5. februar 2008.