Adveksjonslikninga

Adveksjonslikninga er ei partiell differensiallikning som styrer rørsla til ein konservert skalar når han vert advektert av eit kjent vektorfelt. Differensiallikninga vert utleidd ved å bruke skalaren si bevaringslov i lag med Gauss sitt teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.

Det beste dømet på dette er kanskje transport av oppløyst salt i vatn.

Matematisk kan ein uttrykke adveksjonslikninga som:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0$

der ∇· er divergensen. Ofte tenkjer ein seg at snøggleiksfeltet er solenoidalt, altså er $\nabla \cdot {\mathbf {u} }=0$. Når dette er oppfylt vert likninga over redusert til

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.$

Visst straumen er laminær, er ${\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0$ som viser at $\psi$ er konstant langs ei straumlinje.

Adveksjonslikninga er ikkje enkel å løyse numerisk: Systemet er ei hyperbolsk partiell differensiallikning, og interesseområdet er vanlegvis rundt diskontinuerlege «sjokkløysingar» (som er svært vanskeleg å takle for numeriske skjema).

Sjølv med konstant fart og eit eindimensjonalt rom er systemet vanskeleg å simulere (det er ein standardtest for adveksjonsskjema som vert kalla grisehusproblem). Likninga over blir då:

${\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0$

der $\psi =\psi (x,t)$.

I følgje Zang [2] kan ei skeivsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løysinga.

${\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })$

der $\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })$ er ein vektor med komponentar $[\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]$ der ein har brukt notasjonen ${\mathbf {u} }=[u_{x},u_{y},u_{z}]$.

Sidan skeivsymmetri berre medfører komplekse eigenverdiar, reduserer denne forma «oppblåsing» og «spektral blokkering», som ein ofte får i numeriske løysingar med skarpe diskontinuitetar (sjå Boyd [1] pp. 213).

Andre storleikar

Adveksjonslikninga gjeld òg om storleiken som vert advektert er representert ved ein sannsynstettleiksfunksjon i kvart punkt, men å rekne ut diffusjonen vert då vanskelegare.

Kjelder

[1] Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York

[2] Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.

en:Advection equation

Sjå òg

• Adveksjon
• Kontinuitetslikninga
• Couranttal
• Partiell differensiallikning