Opna hovudmenyen

Ein kontinuerleg funksjon er ein matematisk funksjon som er slik at om ein gjer små endringar i det ein set inn i funksjonen, så vil det medføre små endringar i det som kjem ut av funksjonen. Elles vil ein funksjon vere diskontinuerleg. Sagt på ein meir upresis måte så er ein kontinuerleg funksjon ein funksjon ein kan teikne som ein graf på eit papir utan å løfte blyanten. Ein kontinuerleg funksjon med ein kontinuerleg invers funksjon vert kalla bikontinuerleg.

Kontinuiteten til funksjonar er eit av dei viktigaste omgrepa i topologi.

Eit døme på ein kontinuerleg funksjon er funksjonen h(t) som kan skildre høgda til veksande gras med tida t. Denne funksjonen er kontinuerleg. I klassisk fysikk seier ein at i naturen er alt kontinuerleg. Eit døme på ein diskontinuerleg funksjon er P(t) som kan seie kor mykje pengar som står på ein bankkonto. Om ein ved eit tidspunkt tek pengar ut av kontoen, vil funksjonen gjere eit hopp. Han er altså diskontinuerleg.

Dei viktigaste resultat for kontinuerlege reelle funksjonar er skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga.

Kontinuitet for reelle funksjoner av ein reell variabelEndra

Vi ser her på funksjonar   der definisjonsmengda og verdimengda er delmengder av reelle tal. Ofte er slike funksjoner gjevne ved formeluttrykk. Vi har følgjande tre ekvivalente definisjonar:

Epsilon-delta-definisjonEndra

La   vere eit punkt i definisjonsmengda til  . Vi seier at   er kontinuerleg i   dersom det for kvar   finst ein   slik at

  når   og   ligg i definisjonsmengda til  .

Funksjonen   vert kalla kontinuerleg dersom   er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Ved grenseverdiarEndra

La   vere eit punkt i definisjonsmengda til  . Vi seier at   er kontinuerleg i   dersom   er eit isolert punkt i definisjonsmengda eller grenseverdien   eksisterer og er lik  . Funksjonen   vert kalla kontinuerleg dersom   er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

Ved sekvensielle grenseverdiarEndra

La   vere eit punkt i definisjonsmengda til  . Vi seier at   er kontinuerleg i   dersom for kvar følgje   av punkt i definisjonsmengda med  , så eksisterer grenseverdien   og er lik  . Funksjonen   vert kalla kontinuerleg dersom   er kontinuerleg i alle punkt i definisjonsmengda.

DømeEndra

Følgjande funksjonar er kontinuerlege:

  •  , hvor   er ein konstant.
  •  
  • Absoluttverdien  
  • n-te potensar  
  • n-te røter  
  • Dei trigonometriske funksjonane  ,  ,   og  
  • Eksponentialfunksjonen  
  • Logaritmefunksjonen  
  • Arcusfunksjonane  ,   og  
  • Dei hyperbolske funksjonanen  ,  ,   og  

Funksjonen   er ikkje kontinuerleg i  .

Funksjonen   er ikkje kontinuerleg i noko punkt.

Å avgjere kontinuitetEndra

Dersom ein reell funksjon   er gjeve ved ein formel, så er det upraktisk å bruke definisjonen til å avgjere om   er kontinuerleg. I staden nyttar ein teoremet som seier at dersom funksjonen   er bygt opp av kontinuerlege funksjonar ved operasjonane addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon og samansetting, så er òg   kontinuerleg i hele definisjonsmengda si.

Døme:

  •   kontinuerleg sidan   er summen av dei kontinuerlege funksjonane   og  .
  •   er kontinuerleg sidan   er samansetninga av   med produktet  .
  •   er kontinuerleg sidan   er den kontinuerlege funksjonen   delt på den kontinuerlege funksjonen  . Merk at   ikkje er diskontinuerleg i  , men berre udefinert i dette punktet. Vidare er det umogeleg å utvide definisjonsområdet til   slik at   vert kontinuerleg i  .

Viktige resultatEndra

Skjeringssetninga: Tenk at   er ein kontinuerleg funksjon der   og   har motsette fortegn. Då finst eit tal   mellom   og   slik at  .

Ekstremalverdisetninga: La   vere ein kontinuerleg funksjon definert på eit lukka, avgrensa intervall. Då eksisterer både maksimumspunkt og minimumspunkt for  .

Kontinuitet for komplekse funksjonar av ein kompleks variabelEndra

Kontinuitet for ein kompleks funksjon   av ein kompleks variabel   vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Kontinuitet for funksjonar av fleire variableEndra

Kontinuitet for ein funksjon   av fleire variable   vert definert på same måte som kontinuitet for reelle funksjonar av ein reell variabel.

Følgjande døme syner at ein må vere litt forsiktig når ein ser på kontinuitet til funksjonar av fleire variable: La   Selv om   og   begge er kontinuerlege i  , så er ikkje   kontinuerleg i  .

Kontinuerlege funksjonar mellom metriske romEndra

Epsilon-delta-definisjonEndra

La   og   vere metriske rom med metrikkane   og  . Ein funksjon   er kontinuerleg i punktet   dersom det for alle   finst ein   slik at

  for alle   med  .

Ein funksjon er kontinuerleg dersom funksjonen er kontinuerleg i alle punkt   i  .

Ved grenseverdiarEndra

La   vere ein funksjon mellom metriske rom og la   vere eit punkt i  . Vi seier at   er kontinuerleg i   dersom   er eit isolert punkt i   eller grenseverdien   eksisterer og er lik  . Funksjonen   vert kalla kontinuerleg dersom   er kontinuerleg i alle punkt i  .

Ved sekvensielle grenseverdiarEndra

La   vere ein funksjon mellom metriske rom og la   vere eit punkt i definisjonsmengda til  . Vi seier at   er kontinuerleg i   dersom for kvar følgje   av punkt i   med  , så eksisterer grenseverdien   og er lik  . Funksjonen   vert kalla kontinuerleg dersom   er kontinuerleg i alle punkt i  .

Kontinuerlege funksjonar mellom topologiske romEndra

DefinisjonEndra

Ein funksjon   mellom topologiske rom er kontinuerleg dersom   er ei open mengd i   for kvar opne mengd   i  .

Ein kan òg gje ein ekvivalent definisjon ved bruk av omegnsstrukturar. Ein slik definisjon viser at kontinuitet er ein lokal eigenskap.

Merk at samansetninga av to kontinuerlege funksjonar er kontinuerleg.

Viktige resultatEndra

Følgjande to resultater generaliserer skjeringssetninga og ekstremalverdisetninga:

  • Biletet av ei samanhengande mengd under ein kontinuerleg funksjon er samanhengande.
  • Biletet av ei kompakt mengd under ein kontinuerleg funksjon er kompakt.

KjelderEndra