Binomisk fordeling

Ei binomisk fordeling eller binomialfordeling er ei diskret fordeling (eit omgrep innan sannsynsteori og matematisk statistikk) som handsamar hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsyn.

Dersom ein stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n er mengd forsøk og p er sannsynet for å lukkast i kvart forsøk, skreiv ein:

$X\in Bin(n,p)$

X har sannsynsfunksjonen

$p_{X}(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.$

der ${n \choose k}$ er binomialkoeffisienten, p er sannsynet for at hendinga skal opptre k gongar og 1 - p = q såleis sannsynet for at hendinga ikkje opptrer.

Binomialfordelinga kan under visse omstende tilnærmast med andre fordelingar. Tommelfingerregelen er at dersom $p<0,1$ kan fordelinga tilnærmast med poissonfordelinga $Po(np)$, eller dersom $np(1-p)>10$ med normalfordelinga $N(np$,${\sqrt {npq}}$).

Døme: Favorittdøme til statistikarane er urnemodellar som bygger på urner med svarte og kvite kuler. Sannsynet for å ta ut ei kvit kule ved ei tilfeldig trekning er p. Sannsynet for at ein tar ut nøyaktig k kvite kuler ved n forsøk, dersom ein har s mengd svarte og v kvite kuler i ei urne, og legg tilbake kulene mellom kvar trekning (trekning med tilbakelegging), for ein då av sannsynsfunksjonen over med

$p={v \over {s+v}}\quad og\quad q=1-p,$

der p og q vert gjeven gjennom den klassiske sannsynsdefinisjonen.

Døme 2: Dersom ein kastar ein terning tre gonger, og terningen er velbygd, slik at sannsynet for å få ein seksar er 1/6, blir sannsynet for å få seksar to gonger

$P={3 \choose 2}\left({1 \over 6}\right)^{2}{5 \over 6}={5 \over 72}.$

Døme 3: På same vis kan ein rekne ut sannsynet for å få sifferet seks n gonger ved n mengd kast:

$P={n \choose n}\left({1 \over 6}\right)^{n}\left({5 \over 6}\right)^{n-n}=\left({1 \over 6}\right)^{n},$

Sjå òg

• Binomialformel
• Binomialkoeffisient

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Binomisk fordeling» frå Wikipedia på bokmål, den 31. oktober 2011.