Gradient

Ein gradient i eit skalarfelt er eit vektorfelt som peikar i retninga der skalarfeltet aukar mest. Helling er i røynda ein gradient.

Skalarfeltet på dei to figurane er svart og kvitt. Det svarte representerer høgare verdiar og dei blå pilene representerer gradienten.

Ei generalisering av gradienten for funksjonar i eit euklidsk rom som har verdiar i eit anna euklidsk rom er jakobisk. Ei vidare generalisering for ein funksjon frå eit banach-rom til eit anna er den fréchet derivertee.

Tolking

Tenk deg eit rom der temperaturen er gjeven av eit skalarfelt $T$, slik at i kvart punkt $(x,y,z)$ er temperaturen $T(x,y,z)$ (vi reknar her at temperaturen ikkje endrar seg med tida). I kvart punkt i dette rommet vil gradienten til $T$ syne i kva retning temperaturen stig raskast. Storleiken til gradienten vil avgjere kor raskt temperaturen stig i denne retninga.

Tenk deg ein ås der høgda over havet i kvart punkt $(x,y)$ er $H(x,y)$. Gradienten til $H$ i eit punkt er ein vektor som peikar i retninga der hellinga er brattast. Kor bratt hellinga er i dette punktet er avgjort av storleiken til gradientvektoren.

Gradienten kan nyttast til å måle korleis eit skalarfelt endrar seg i alle retninga, ikkje berre den retninga med størst endring. Dette gjer ein ved å ta eit prikkprodukt. Tenk deg åsen igjen og at den brattaste hellinga i åsen er 40 %. Om ein veg går rett opp åsen så vil den brattaste delen av vegen òg vere på 40 %. Om vegen i staden går på skrått oppover åsen (gardientvektoren), så vil ikkje vegen vere like bratt. Til dømes, om vinkelen mellom vegen og retninga rett opp åsen på projektert ned på eit horisontalt plan er 60º, så er den brattaste hellinga på vegen 20 %, som er 40 % gangar cosinus til 60º.

Definisjon

Gradienten (eller gradientvektorfeltet) til ein skalar funksjon $f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})$ er skriven som $\nabla f$ (han kan òg skrivast som ${\vec {\nabla }}f$), der $\nabla$ (nablasymbolet) skildrar differensialoperatoren til vektoren, del. Notasjonen $\operatorname {grad} (f)$ vert òg nytta for gradienten. Gradienten til f er definert som eit vektorfelt der komponentane er partiellderiverte av $f$. Altså:

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).$

Her er gradienten skrive som ein rekkjevektor, men vert ofte mistolka som ein søylevektor. Når ein funksjon er avhengig av ein parameter som tid, så omhandlar som regel vektoren berre dei romlege derivative.

Uttrykk for gradienten i tre dimensjonar

Gradientforma er avhengig av koordinatsystemet som er nytta. I kartesiske koordinatar vert uttrykket over skrive som

$\nabla f(x,y,z)=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)$

som ofte vert skriven ved å nytte dei vanlege vektorane ${\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}$:

${\frac {\partial f}{\partial x}}{\hat {i}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\hat {j}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\hat {k}}$

I sylindriske koordinatar vert gradienten gjeven som:

$\nabla f(\rho ,\theta ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}$

der $\theta$ er kompassvinkelen, $z$ er aksekoordinaten og e_ρ, e_θ and e_z er einingsvektorar som peiker langs koordinatretningane.

I sfæriske koordinatar:

$\nabla f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }$

der $\phi$ er kompassvinkelen og $\theta$ er senitvinkelen.

Døme

Til dømes er gradienten til ein funksjon i kartesiske koordinatar

$f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)$

er:

$\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left(2,6y,-\cos(z)\right).$

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Gradient» frå Wikipedia på engelsk, den 21. juli 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:
  • Korn, Theresa M.; Korn, Granino Arthur (2000), Mathematical Handbook for Scientists and Engineers: Definitions, Theorems, and Formulas for Reference and Review, New York: Dover Publications, s. 157–160, ISBN 0-486-41147-8, OCLC 43864234 .
  • Schey, H.M. (1992), Div, Grad, Curl, and All That (2nd utg.), W.W. Norton, ISBN 0-393-96251-2, OCLC 25048561 .