Kontinuitetslikninga

Kontinuitetslikninga er ei differensiallikning som skildrar bevart transport av ein storleik. Sidan masse, energi, rørslemengd og andre naturlege storleikar er bevarte, kan mykje fysikk skildrast med hjelp av kontinuitetslikningar.

Alle døme på kontinuitetslikningar under uttrykket den same ideen. Kontinuitetslikingar er den (sterkare) lokale formal av bevaringslova.

Ei kontinuitetslikning har ei «differnsialform» (uttrykt med ein divergensoperator) og ei «integralform» (uttrykt med eit fluksintegral). I denne artikkelen vert berre differensialforma nytta.

Generelt

Den generelle forma til ei kontinuitetslikning er

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot f=s$

der $\scriptstyle \varphi$ er ein storleik, ƒ er ein funksjon som skildrar fluksen til $\scriptstyle \varphi$, og s skildrar kor raskt $\scriptstyle \varphi$ vert skapt eller fjerna. Denne likninga kan utleiast ved å sjå på fluksane i ein infinitesimal boks. Denne generelle likninga kan òg nyttast til å lage alle kontinuitetslikningar, frå enkle likningar som kontinuitetslikninga for volum til meir kompliserte likningar som Navier–Stokes-likningane. Denne likninga generaliserer òg adveksjonslikninga.

Elektromagnetisk teori

I eletromagnetisk teori vert kontinuitetslikninga anten rekna som ei empirisk lov om uttrykker (lokal) ladningsbevaring, eller han kan utleiast frå to av Maxwell-likningane. Han fortel at divergensen til straumtettleiken er lik den negative endringa til ladningstettleiken,

$\nabla \cdot \mathbf {J} =-{\partial \rho \over \partial t}.$

Utleiing frå Maxwell-likningane

Ei av Maxwell-likningane, Ampèrelova, seier at

$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\partial \mathbf {D} \over \partial t}.$

Ved å ta divergensen på begge sider får ein

$\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t},$

men divergensen til curlen er null, slik at

$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \nabla \cdot \mathbf {D} \over \partial t}=0.\qquad \qquad (1)$

Ei anna av Maxwell-likningane, Gausslova, seier at

$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho .\,$

Ved å setje denne inn i likning (1) får ein

$\nabla \cdot \mathbf {J} +{\partial \rho \over \partial t}=0,\,$

som er kontinuitetslikninga.

Tolking

Straumtettleiken er rørsla til ladningstettleiken. Kontinuitetslikninga seier at om ein flyttar ladning ut av eit differensialvolum (t.d. at divergensen til straumtettleiken er positiv), så vil ladningsmenda i volumet minke, slik at endringsraten til ladningstettleiken er negativ. Derfor uttrykket kontinuitetslikninga ei bevaring av ladning.

Væskedynamikk

I væskedynamikk er kontinuitetslikninga eit matematisk uttrykk som i alle prosessar for stasjonære tilstandar syner korleis endringa av masse som kjem inn i eit system er lik endringa av massen som går ut av systemet. I væskedynamikk er kontinuitetslikninga analog til straumlova til Kirchhoff i elektriske kretsar.

Differensialforma av kontinuitetslikninga er:

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

der $\rho$ er væsketettleiken, t er tid, og u er væskesnøggleiken. Om tettleiken ($\rho$) er konstant, som er tilfellet i ein inkompressibel straum, så vert massekontinuitetslikninga forenkla til volumkontinuitetslikninga:

$\nabla \cdot \mathbf {u} =0$

som tyder at divergensen til fartsfeltet er null overalt. Fysisk er dette det same som å sei at den lokale volumspreiinga lik null.

Navier-Stokes-likningane dannar ei kontinuitetslikning på vektorform som skildrar bevaring av lineær rørslemengd.

Kvantemekanikk

I kvantemekanikk gjev bevaring av sannsyn òg ei kontinuitetslikning. La P(x, t) vere ein tettleiksfunksjon og skrive

$\nabla \cdot \mathbf {j} =-{\partial \over \partial t}P(x,t)$

der j er sannsynsfluksen.

Fire-straumar

Bevarging av ein straum (ikkje nødvendigvis ein elektomagnetisk straum) kan uttrykkast kompakt som den lorentzinvariante divergensen til ein fire-straum:

$J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {j} \right)$

der

c er lysfarten

ρ er ladningstettleik

j den konvensjonelle straumtettleiken.

μ merkar romtid dimensjonen

så sidan

$\partial _{\mu }J^{\mu }={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j}$

så impliserer

$\partial _{\mu }J^{\mu }=0$

at straumen er bevart:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0$

Sjå òg

• Bevaringslova
• Noether-teoremet
• Eulerlikningane
• Inkompressibel væske
• Schrödingerlikninga
• Tettleiksfunksjon

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Continuity equation» frå Wikipedia på engelsk, den 13. juli 2009.
  • Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene: