Folding i signalhandsaming

Folding ein matematisk bilineær operasjon på to funksjonar, eller signal, $u(t)$ og $h(t)$ som resulterer i ein tredje funksjon $y(t)$, som syner korleis dei to funksjonane påverkar kvarandre. Folding kan utførast mellom kontinuerlege eller diskrete funksjonar, og kan sjåast på som ei generalisering av eit glidande gjennomsnitt.

Folding av ein rektangulær funksjon med seg sjølv.

= Folding av tids-kontinerlege signal

Folding av to kontinuerlege Lebesgue-integrerbare funksjonar $u(t)$ og $h(t)$ vert utført som

$y(t)=u(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)h(t-\tau )d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }h(t)u(t-\tau )d\tau ,$

der *, som vert kalla «foldingsoperatoren», er ein kompakt notasjon for folding. «Folding» kjem frå den tyske nemninga «Faltung», og syner til at den eine funksjonen vert folda (bretta), slik at slutten kjem fyrst og starten til slutt, vist med notasjonen $h(t-\tau )$. Folding er ein kommutativ operasjon, så det spelar inga rolle kva for funksjon som vert snudd (folda). Dei to funksjonane kan vera reelle eller komplekse.

Om $h(t)$ er impulsresponsen til eit lineært system (eit filter), er utgangssignalt $y(t)$ frå systemet gitt som foldinga av impulsresponsen $h(t)$ og inngangssignalet $u(t)$. Ein kan difor måla impulsresponsen til eit lineært system ved å senda ein impuls gjennom det.

Folding av tids-diskrete signal (sekvensar)

Folding av relle eller komplekse diskrete sekvensar vert utført som eit Cauchy-produkt:

$y(n)=h(n)*h(n)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }u(m)h(n-m)=\Sigma _{m=-\infty }^{\infty }h(m)u(n-m).$

Her er Lebesgue-målet bytta ut med eit kardinalitetsmål.

Linjealmetoden

Linjealmetoden.

Folding av to diskrete sekvensar kan illustrerast med den sokalla linjealmetoden. Fyrst blir den eine av dei to sekvensane reversert. Ein startar så med å overlappa sekvensane med ein sampel og så blir verdiane multipliserte med kvarandre. Dette gir den fyrste verdien til $y(0)$. Deretter forskyv ein den reverserte sekvensen $h(n)$ med eit sampelinterval, slik at dei to sekvensane overlappar med to sample, finn produkta av dei to overlappande sampelpara og summerer for å finna $y(0)$. Så forskyv ein sekvensen enda eit sampelinterval, multipliserer dei overlappande tre sampelpara og summerer, for å finna $y(2)$. Ein held fram på dette viset til sekvensane ikkje lengre overlappar. Lengda av den resulterande sekvensen $y(n)$ blir lik summen av lengda til sekvensane $u(n)$ og $h(n)$, minus 1.

Folding uttrykt som polynommultiplikasjon

Foldninga av diskrete tids-signal (sekvensar) kan uttrykkast som polynommultiplikasjon:

${\begin{aligned}y(x)=h(x)*u(x)\\=(h_{M}x^{M}+h_{M-1}x^{M-1}+...+h_{1}x+h_{0})(u_{M}x^{M}+u_{M-1}x^{M-1}+...+u_{1}x+u_{0})\\=h_{M}u_{M}x^{2M}+(h_{M}u_{M-1}+h_{M-1}u^{M})x^{2M-1}+...+(h_{1}u_{0}+h_{0}u_{1})x+h_{0}u_{0}\end{aligned}}$