Vinkelfart

Vinkelfart er farten til noko som roterer, i lag med rotasjonsretninga. SI-eininga for vinkelfart er radian per sekund, og vert vanlegvis representert med symbolet omega (Ω eller ω). Vinkelfarten utan retning vert skriven som ω.

Vinkelfarten skildrar rotasjonsfarten og orienteringa av den momementane rotasjonsaksen. Retninga på vinkelfartvektoren er langs rotasjonsaksen — i dette tilfellet (rotasjon mot klokka) peikar vektoren mot lesaren.

Storleik og retning

Vinkelfart er ein vektorstorleik, som tyder at han har både ein storleik (eller vektorlengd), og ei retning. Storleiken og retninga til vinkelfarten skildrar rotasjonsaksen.

Vinkelfartsvektoren har tre dimensjonar. Retningslinja er gjeven ved rotasjonsaksen, og høgrehandsregelen indikerer den positive retninga:

Viss du bøyer fingrane på den høgre handa, slik at dei peikar i rotasjonsretinga, så viser den høgre tommelen din retninga til vinkelfartsvektoren.

I to dimensjonar (planrørsle) er vinkelfarten framleis ein vektor med tre komponentar. Han har derimot to skalarkomponentar lik null med omsyn til dei to kartesiske aksane som ligg i rotasjonsplanet. Den tredje komponenten er då ikkje lik null, løyst med omsyn på den tredje kartesiske aksen, normalt på rotasjonsplanet. Derfor treng vinkelfartsvektoren i to dimensjonar berre representerast av komponenten langs den tredje dimensjonen, ein skalar som vanlegvis er positiv for rørsle mot klokka og negative for rørsle med klokka.

Generelt for å skildre vinkelfarten i n-dimensjonar må ein ha ein ${\begin{matrix}{1 \over 2}\end{matrix}}n(n-1)$-dimensjonal vektor. Dette talet er dimensjonen til Lie-algebraen i Lie-gruppa til rotasjonar i eit n-dimensjonalt skalarproduktrom.

Sirkelrørsle

For alle partiklar på ein roterande fast lekam som flyttar seg har vi

$\mathbf {v} =\mathbf {v} _{t}+{\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{c})$

der $\mathbf {v}$ er den totale farten til partikkelen, $\mathbf {v} _{t}$ er translasjonsfarten til lekamen, $\mathbf {r}$ posisjonen til partikkelen, og $\mathbf {r} _{c}$ er posisjonen til senteret av lekamen.

For å skildre rørsla kan «senteret» vere eit kva som helst punkt i lekamen eller eit tenkt punkt fast på lekamen (translasjonsvektoren er avhengig av dette valet), men vanlegvis vel ein massesentrumet, fordi det fører til at enkelte likningar vert enklare.

Ikkje-sirkulær rørsle i eit plan

Viss rørsla til ein partikkel er på eit plan og er skildra av ein posisjonsvektor-funksjon r(t) — med omsyn til startpunktet i planet — er vinkelfartsvektoren

${\boldsymbol {\omega }}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} |^{2}}\qquad \qquad (1)$

der

$\mathbf {v} (t)=\mathbf {r'} (t)$

er den lineære fartsvektoren. Likning (1) gjeld for ikkje-sirkulære rørsler, t.d. rørsle i elliptiske banar.

Utleiing

Vektor v kan løysast i to komponentar: $\mathbf {v} _{\perp }$ som er vinkelrett på r, og $\mathbf {v} _{\|}$ som er parallell til r. Med omysn på ein omkrets med senter i startpunktet og radius r, har den parallelle komponenten ei radiell retning, og den vinkelrette komponenten har ein tangential retning. Ei radiell rørsle fører ikkje til rotasjon av partikkelen (relativt til startpunktet), for å finne vinkelfarten kan ein sjå bort frå den parallelle (radielle) komponenten. Derfor vert rotasjonen berre danna som følgje av den tangentiale rørsla, og vinkelfarten er berre avhengig av den vinkelrette (tangentiale) komponenten.

Den tangentiale komponenten har storleik

$|\mathbf {v} _{\perp }|={|\mathbf {r} \times \mathbf {v} | \over |\mathbf {r} |}\qquad \qquad (2)$

der $|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |$ representerer arealet til eit parallelogram der to av sidene er vektorane r og v. Dividerer ein dette arealet med storleiken til r får ein høgda til parallelogrammet mellom r og sida av parallelogrammet parallelt til r. Denne høgda er lik komponenten av v som er vinkelrett på r.

Når ein har ei rein sirkelrørsle er vinkelfarten lik den lineære farten delt på radiusen. For generell rørsle er vinkelfarten bytta ut med komponenten normalt på r, dvs.

$\omega ={|\mathbf {v} _{\perp }| \over |\mathbf {r} |}\qquad \qquad (3)$

når ein då set likning (2) og (3) i lag får ein

$\omega ={|\mathbf {r} \times \mathbf {v} | \over |\mathbf {r} |^{2}}=|{\boldsymbol {\omega }}|\qquad \qquad (4)$

Likning (4) gjev storleiken til vinkelfartsvektoren. Retninga til denne vektoren er representert ved einingsvektoren ${\hat {\boldsymbol {\omega }}}$. Denne einingsvektoren — som er ortogonal til både r og v, og på sida av vektoren $\mathbf {r} \times \mathbf {v}$ — får ein ved å normalisere $\mathbf {r} \times \mathbf {v}$:

${\hat {\boldsymbol {\omega }}}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} \times \mathbf {v} |}\qquad \qquad (5)$

Då vert heile vinkelfartsvektoren gjeven ved å multiplisere storleiken med einingsvektoren som ein får av retninga:

${\boldsymbol {\omega }}=\omega {\hat {\boldsymbol {\omega }}}$

som, på grunn av likning (4) og (5) er lik

${\boldsymbol {\omega }}={\mathbf {r} \times \mathbf {v} \over |\mathbf {r} |^{2}}$

som igjen er lik likning (1) over.

Sjå òg

• Vinkelfrekvens
• Vinkelmoment
• Flatesnøggleik
• Isometri
• Lie-algebra
• Ortogonal gruppe
• Rotasjonsgruppe