Hyperbolsk funksjon

(Omdirigert frå Cosh)

Ein hyperbolsk funksjon er funksjonane sinh (sinus hyperbolicus), cosh (cosinus hyperbolicus), tanh (tangens hyperbolicus), coth (cotangens hyperbolicus), sech (secans hyperbolicus) og csch (cosecans hyperbolicus).

Her er e grunntalet i det naturlege logaritmesystemet.

Dei hyperbolske funksjonane har eigenskapar som er analoge med dei trigonometriske funksjonane. På same måte som og kan nyttast til å parametrisere ein sirkel, kan dei hyperbolske funksjonane og parametrisere ein hyperbel.

Standard algebraiske uttrykkEndra

 
sinh, cosh og tanh
 
csch, sech og coth

Dei hyperbolske funksjonane er :

  • Hyperbolsk sinus:
 
  • Hyperbolsk cosinus:
 
  • Hyperbolsk tangens:
 
  • Hyperbolsk cotangens:
 
  • Hyperbolsk secans:
 
  • Hyperbolsk cosecans:
 

Hyperbolske funksjonane kan introduserast via imaginære sirkelvinklar:

  • Hyperbolsk sinus:
 
  • Hyperbolsk cosinus:
 
  • Hyperbolsk tangens:
 
  • Hyperbolsk cotangens:
 
  • Hyperbolsk sekant:
 
  • Hyperbolsk cosecant:
 

der i er den imaginære eininga definert som i2 = −1.

Dei komplekse formene i definisjonane over kjem frå Eulerformelen.

Nyttige forholdEndra

 
 

Dermed:

 
 
 
 

Ein kan sjå at cosh x og sech x er jamne funksjonar, medan dei andre er odde funksjonar.

 
 
 

Hyperbolsk sinus og cosinus tilfredsstiller identiteten

 

som liknar den pythagoreiske trigonometriske identiteten. Ein har òg

 
 

for dei andre funksjonane.

Den hyperbolske tangensen er løysinga til det ikkje-lineære grenseverdiproblemet[1]:

 

Det kan visast at arealet under kurva til cosh x alltid er like bogelengda:[2]

 

Inverse funksjonar som logaritmarEndra

 
 
 
 
 
 

DeriverteEndra

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

StandardintegralEndra

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Where C is the constant of integration.

TaylorrekkjerEndra

Det er mogeleg å uttrykke funksjonane over som Taylorrekkje:

 

Funksjonen sinh x har ei Taylorrekkje med berre odde eksponentar for x. Dermed er han ein oddefunksjon, som er −sinh x = sinh(−x), og sinh 0 = 0.

 

Funksjonen cosh x har ei Taylorrekkje med berre jamne eksponentar for x. Derfor er han ein jamn funksjon, altså symmetrisk med omsyn til y-aksen. Summen av sinh- og cosh-rekkjene er ei uendeleg rekkje av eksponentialfunksjonen.

 
  (Laurentrekkje)
 
  (Laurentrekkje)

der

  er det n-te Bernoullitalet
  er det n-te Eulertalet

KjelderEndra

  1. Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. Henta 21. november 2011. 
  2. N.P., Bali (2005). Golden Intergral Calculus. Firewall Media. s. 472. ISBN 8-170-08169-6. , Extract of page 472

BakgrunnsstoffEndra