Ikkje-lineært system

Eit ikkje-lineært system er i matematikk eit system som ikkje er lineært, altså eit system som ikkje oppfyller superponeringsprinsippet, eller eit system der utdata ikkje er proporsjonal med inndata. Mindre teknisk sagt er eit ikkje-lineært system problemstillingar der variabelen eller variablane som skal løysast ikkje kan skrivast som ein lineær kombinasjon av sjølvstendige komponentar. Eit ikkje-homogent system, som er lineært bortsett frå at ein har ein funkasjon av sjølvstendige variablar, er ikkje-lineært i følgje den strenge definisjonen, men slike system vert vanlegvis studert i lag med lineære system, sidan dei kan transformerast til lineære system med fleire variablar.

Ikkje-lineære problemstillingar er til interesse for fysikarar og matematikarar, sidan dei fleste fysiske system i seg sjølv er ikkje-lineære. Ikkje-lineære likningar er vanskelege å løyse og er opphav til interessante fenomen som kaos. Vêret er kjend for å vere ikkje-lineært, og berre små endringar i ein liten del av systemet kan skape kompliserte effektar gjennom heile systemet.

Definisjon

I matematikk er ein lineær funksjon $f(x)$ ein som oppfyller følgjande krav:

• additivitet, $\textstyle f(x+y)\ =f(x)\ +f(y);$
• homogeneitet, $\textstyle f(\alpha x)\ =\alpha f(x).$

(Additivitet impliserer homgenitet for alle rasjonale α, og for kontinuerlege funksjonar for alle reelle α. For eit komplekst α følgjer ikkje homgenitet direkte av addivitet.

Ei likning skrive som

$f(x)=C\,$

vert kalla lineær om $f(x)$ er ein lineær funksjon (som definert over) og ikkje-lineær elles. Likninga vert kalla homogen om $C=0$.

Definisjonen $f(x)=C$ er særs generell sidan $x$ kan vere kva matematisk objekt som helst (tal, vektor, funksjon osv.) og funksjonen $f(x)$ kan bokstavleg talt vere alle typar funksjonar, inkludert integrasjon eller differensiering med tilknytte vilkår (som til dømes grensevilkår). Om $f(x)$ inneheld differensiering av $x$, vil resultatet bli ei differensiallikning.

Ikkje-lineære algebraiske likningar

Generelt kan ikkje-lineære algebraiske problem ofte løysast nøyaktig, og om dei ikkje kan det, så kan dei likevel ofte bli godt forstått gjennom kvalitative eller numeriske analysar. Ta til dømes likninga

$x^{2}+x-1=0\,$

som kan skrivast som

$f(x)=C\quad {\mbox{where}}\quad f(x)=x^{2}+x\quad {\mbox{and}}\quad C=1\,$

og er ikkje-lineær fordi $f(x)$ ikkje oppfyller kravet om additivitet eller homogenitet. (ikkje-lineariteten kjem av $x^{2}$). Sjølv om han er ikkje-lineær, kan denne likninga løysast nøyaktig (med hjelp av andregradslikning) og er godt forstått. På den andre sida har ikkje den ikkje-lineære likninga

$x^{5}-x-1=0\,$

eit nøyaktig svar (sjå kvintisk likning), men kan analyserast kvalitativt og er godt forstått, til dømes gjennom å lage ein grav og undersøke røtene til $f(x)-C=0$.

Ikkje-lineær rekursjonsforhold

Eit ikkje-lineært rekursjonsforhold definerer ledd som følgjer etter kvarandre i ein sekvens som ein ikkje-lineær funksjon av dei føregåande ledda. Døme på slike er logistisk likning og forhold som definerer forskjellige Hofstadtersekvensar.

Ikkje-lineære differnesiallikningar

Eit system av differensiallikningar er sagt å vere ikkje-lineært om det er ikkje er eit lineært system. Problemstillingar som omfattar ikkje-lineære differensiallikningar er særs varierte og metodane og analysane for å løyse dei er avhengige av problemet som skal løysast. Døme på slike likingar er Navier–Stokes-likningane i væskedynamikk, Lotka–Volterra-likingar i biologi og Black–Scholes-likningane i finans.

Ein av dei største vanskane med ikkje-lineære problem er at det genrelt ikkje er mogeleg å kombinere kjende løysingar inn i nye løysingar. I lineære problem, som tildømes ei gruppe lineært sjølvstendige løysingar, kan løysingane nyttast til å skape generelle løysingar ved hjelp av superponeringsprinsippet. Eit godt døme på dette er den ein-dimensjonale varmetransporte med Dirichlet sine grensevilkår, der løysinga kan skrivast som ein tidsavhengig lineær kombinasjon av sinuskurvar med forskjellige frekvensar. Dette gjer løysinga særs fleksibel. Det er ofte mogeleg å finne fleire særs spefikke løysingar til ikkje-lineære likningar, men sidan superponeringsprinsippet ikkje kan nyttast, kan ein ikkje finne nye løysingar.

Former for ikkje-lineær oppførsel

• Ubestemtheit - ein kan ikkje føresjå oppførselen til systemet
• Multistabilitet - systemet skiftar mellom to eller fleire spesielle tilstandar.
• Aperiodiske svingingar - funksjonar som ikkje repeterer verdiar etter ein periode (òg kjend som kaotiske svingningar eller kaos)

Døme på ikkje-lineære likningar

• Vekselstraummodell
• Bellman-likninga for optimal politikk
• Boltzmann transportlikning
• Generell relativitet
• Ginzburg-Landau-likninga
• Navier-Stokes-likningane i væskedynamikk
• Korteweg–de Vries-likninga
• ikkje-lineær optikk
• ikkje-lineær Schröder-likning
• Richards-likninga for umetta vasstraum
• Sine-Gordon-likninga
• Landau-Lifshitz-likninga
• Ishimori-likninga
• Van der Pol-likninga
• Liénard-likninga
• Vlasov-likninga

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Nonlinear system» frå Wikipedia på engelsk, den 30. juni 2009.

Bakgrunnsstoff

• Ei samling ikkje-lineære modellar og demoverktøy Arkivert 2008-03-05 ved Wayback Machine.
• Command and Control Research Program (CCRP)
• New England Complex Systems Institute: Konsept i komplekse system
• Ikkje-lineær dynamikk I: Kaos på MIT's OpenCourseWare
• Ikkje-lineære modellar (MATLAB)
• The Center for Nonlinear Studies i Los Alamos National Laboratory
• FyDiK Programvare for å simulere ikkje-lineære dynamiske system