Trigonometrisk funksjon

I matematikken er trigonometriske funksjonar eller sirkulære funksjonar funksjonar av ein vinkel. Dei er viktige i studiet av trekantar og modellering av periodiske fenomen, blant mange andre bruksområde. Trigonometriske funksjonar er vanlegvis definert som tilhøve mellom to sider i ein rettvinkla trekant der vinkelen inngår, og kan på same måte definerast som lengder av ulike linjestykke i ein einingssirkel. Meir moderne definisjonar uttrykkjer dei som uendelege rekkjer eller som løysingar av bestemde differensiallikningar, noko som utvidar dei til å bruke positive og negative vinkelverdiar, og til og med komplekse tal.

I moderne bruk er det seks grunnleggjande trigonometriske funksjonar, som er nemnt her saman med likningane for korleis dei forheld seg til kvarandre. Spesielt i tilfellet med dei siste fire er desse tilhøva ofte rekna som definisjonane av dei funksjonane, men ein kan like godt definere dei geometrisk eller på andre måtar, og så utleie desse tilhøva.

Definisjonar i ein rettvinkla trekant

Trigonometriske funksjonar kan definerast ut frå ein rettvinkla trekant

For å definere dei trigonometriske funksjonane for vinkelen A startar vi med ein vilkårleg rettvinkla trekant der vinkelen A inngår.

Vi brukar følgjande namn for dei tre sidene i trekanten:

• Hypotenusen er den motståande sida til den rette vinkelen, eller definert som den lengste sida i ein rettvinkla trekant, i dette tilfellet h.
• Motståande katet er den motståande sida til vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet a.
• Hosliggande katet er sida som er i kontakt med vinkelen vi er interessert i, i dette tilfellet b.

Dei trigonometriske funksjonane er oppsummert i tabellen under. Deretter kjem skildringar i detalj. Vinkelen θ er den same som vinkel A på figuren.

Funksjon	Forkorting	Identitetar (i radianar)
Sinus	sin	$\sin \theta \equiv \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\csc \theta }}\,$
Cosinus	cos	$\cos \theta \equiv \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sec \theta }}\,$
Tangens	tan (eller tg)	$\tan \theta \equiv {\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}\equiv \cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cot \theta }}\,$
Cosekans	csc (eller cosec)	$\csc \theta \equiv \sec \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\sin \theta }}\,$
Sekans	sec	$\sec \theta \equiv \csc \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\cos \theta }}\,$
Cotangens	cot (eller ctg eller ctn)	$\cot \theta \equiv {\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}\equiv \tan \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\equiv {\frac {1}{\tan \theta }}\,$

Sinus, cosinus og tangens

Sinus til ein vinkel er forholdet mellom motståande katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

$\sin A={\frac {\text{motståande}}{\text{hypotenus}}}={\frac {a}{h}}\,.$

Cosinus til ein vinkel er forholdet mellom hosliggande katet og hypotenusen. I vårt tilfelle

$\cos A={\frac {\text{hosliggande}}{\text{hypotenus}}}={\frac {b}{h}}\,.$

Tangens til ein vinkel er forholdet mellom motståande katet og hosliggande katet. I vårt tilfelle

$\tan A={\frac {\text{motståande}}{\text{hosliggande}}}={\frac {a}{b}}\,.$

Resiproke funksjonar

Dei tre gjenståande funksjonane vert best definert ut frå dei tre funksjonane over.

Cosekans csc A er det inverse talet til sin A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og motståande side:

$\csc A={\frac {\text{hypotenus}}{\text{motståande}}}={\frac {h}{a}}\,.$

Sekans sec A er det inverse talet til cos A, dvs. forholdet mellom hypotenusen og hosliggande side:

$\sec A={\frac {\text{hypotenus}}{\text{hosliggande}}}={\frac {h}{b}}\,.$

Cotangens cot A er det inverse talet til tan A, dvs. forholdet mellom hosliggande side og motståande side:

$\cot A={\frac {\text{hosliggande}}{\text{motståande}}}={\frac {b}{a}}\,.$

Definisjonar i einingssirkelen

Einingssirkelen

Dei trigonometriske funksjonane kan òg definerast ut frå ein einingssirkel, ein sirkel med radius lik 1 og sentrum i origo. Etter ein slik definisjon kan alle reelle tal brukast som argument.

Vi tenkjer oss ein vinkel med toppunkt i origo, og det eine vinkelbeinet langs x-aksen. Der det andre vinkelbeinet skjer sirkelen får vi eit punkt vi kallar vinkelpunktet. Cosinus til vinkelen er definert som x-koordinaten til vinkelpunktet og sinus som y-koordinaten. Dei andre funksjonane blir definert ut frå sinus og cosinus som nemnt ovanfor.

For vinklar større enn $2\pi$ eller mindre enn $-2\pi$, held ein berre fram rundt sirkelen. På denne måten blir sinus og cosinus periodiske funksjonar med periode $2\pi$:

$\sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right)\,,$

$\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right)\,,$

for alle vinklar θ og alle heiltal k.

Alle dei trigonometriske funksjonane til vinkelen θ kan konstruerast geometrisk ut frå ein einingssirkel.

Alternativt kan alle dei trigonometriske funksjonane definerast ut frå ein einingssirkel som vist i biletet til høgre, og tilsvarande geometriske definisjonar vart brukt i historia. For ein korde AB, der θ er halvparten av den utspente vinkelen, er sin θ = AC (halve korden). cos θ er den vassrette avstanden OC, og versin θ = 1 − cos θ = CD. tan θ er lengda av linjestykket AE som er tangenten gjennom A, derfor ordet tangens. cot θ er linjestykket AF. sec θ = OE og csc θ = OF er sekantlinjene. DE er exsec θ = sec θ − 1 (delen av sekanten som er utanfor, eller ex, sirkelen).

Rekkedefinisjonar

Sinusfunksjonen (blå) er godt tilnærma ved taylorpolynomet av 7. grad (rosa) for eit heilt omløp

Ved å bruke berre geometri og grenseverdiar kan det visast at den deriverte av sin x er cos x og at den deriverte av cos x er −sin x. (Her, og generelt i kalkulus / (differensialregning), er alle vinklar målt i radianar.) Ein kan så bruke teorien for taylorrekkjer for å vise at følgjande identitetar held for alle reelle tal x:

${\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=\sum _{{\text{ulike }}m\geq 1}(-1)^{(m-1)/2}{\frac {x^{m}}{m!}},\\\\\cos x&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=\sum _{{\text{like }}m\geq 0}(-1)^{m/2}{\frac {x^{m}}{m!}},\\\\\tan x&{}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}}\\&{}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots ,\qquad {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\,,\end{aligned}}$

der

B_n er det n-te Bernoulli-talet.

Identitetar

Det finst mange identitetar som gjeld mellom dei trigonometriske funksjonane. Av dei mest nytta er einingssetninga, som seier at for alle vinklar, er kvadratet av sinus pluss kvadratet av cosinus alltid lik 1. Dette kan sjåast ved å lage ein rettvinkla trekant med hypotenus lik 1 og bruke Pythagoras’ læresetning. Einingssetningen er slik:

$\left(\sin x\right)^{2}+\left(\cos x\right)^{2}=1\,,$

som vanlegvis vert skriven slik, utan parentesar:

$\sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,.$

Andre viktige forhold er formlane for sinus og cosinus av summen og differansen mellom to vinklar.

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y\,,$ $\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y\,,$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y\,,$ $\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y\,.$

Kalkulus

Under er lista over deriverte og integralar til dei seks grunnleggande trigonometriske funksjonane.

$\ \ \ \ f(x)$	$\ \ \ \ f'(x)$	$\int f(x)\,dx$
$\,\ \sin x$	$\,\ \cos x$	$\,\ -\cos x+C$
$\,\ \cos x$	$\,\ -\sin x$	$\,\ \sin x+C$
$\,\ \tan x$	$\,\ \sec ^{2}x$	$-\ln \left|\cos x\right|+C$
$\,\ \cot x$	$\,\ -\csc ^{2}x$	$\ln \left|\sin x\right|+C$
$\,\ \sec x$	$\,\ \sec {x}\tan {x}$	$\ln \left|\sec x+\tan x\right|+C$
$\,\ \csc x$	$\,\ -\csc {x}\cot {x}$	$-\ln \left|\csc x+\cot x\right|+C$

Utrekning

Utrekninga av trigonometriske funksjonar er eit komplisert emne, som i dag kan unngåast av dei fleste, pga datamaskinar og vitskaplege kalkulatorar. I dette avsnittet skildrar vi likevel fleire detaljar om utrekninga i tre viktige samanhengar: historisk bruk av trigonometriske tabellar, dei moderne teknikkane som blir brukt av datamaskiner, og eksakte verdi for nokre bestemde vinklar.

Før datamaskinene brukte ein tabellar, og fann mellomliggande verdiar ved interpolasjon. Slike tabellar har vore tilgjengelege så lenge som trigonometriske funksjonar har vore skildra (sjå Historie nedanfor), og vart vanlegvis utrekna ved gjenteke bruk av formlane for halve vinklar og summen av vinklar (sjå trigonometriske identitetar) ved å gå ut frå ein kjend verdi (slik som $\sin(\pi /2)=1$).

For nokre enkle vinklar kan verdiane utrekna for hand ved hjelp av Pythagoras’ læresetning, som i dei følgjande døma. Eksakte verdier av sinus, cosinus og tangens for alle multipler av $\pi /60$ radianer (3°) kan faktisk finnast for hand.

Vi tenkjer oss ein rettvinkla trekant der dei to andre vinklane er $\pi /4$ radianar (45°). Sidene b og a er like; vi kan velje $a=b=1$. Verdiane av sinus, cosinus og tangens til $\pi /4$ radianar (45°) kan då finnast ved hjelp av Pythagoras’ læresetning:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {2}}\,.$

Derfor:

$\sin \left(\pi /4\right)=\sin \left(45^{\circ }\right)=\cos \left(\pi /4\right)=\cos \left(45^{\circ }\right)={1 \over {\sqrt {2}}}\,$,

$\tan \left(\pi /4\right)=\tan \left(45^{\circ }\right)={{\sin \left(\pi /4\right)} \over {\cos \left(\pi /4\right)}}={1 \over {\sqrt {2}}}\cdot {{\sqrt {2}} \over 1}={{\sqrt {2}} \over {\sqrt {2}}}=1\,.$

For å bestemme trigonomentriske funksjonar for vinklar på π/3 radianar (60°) og π/6 radianar (30°) startar vi med ein likesida trekant med sidelengd 1. Alle vinklar er π/3 radianar (60 grader). Ved å dele den i to får vi ein rettvinkla trekant med vinklar på π/6 radianar (30°) og π/3 radianar (60°). Den korteste sida = 1/2, den nest lengste = (√3)/2 og hypotenusen = 1. Dette gjev:

$\sin \left(\pi /6\right)=\sin \left(30^{\circ }\right)=\cos \left(\pi /3\right)=\cos \left(60^{\circ }\right)={1 \over 2}\,,$

$\cos \left(\pi /6\right)=\cos \left(30^{\circ }\right)=\sin \left(\pi /3\right)=\sin \left(60^{\circ }\right)={{\sqrt {3}} \over 2}\,,$

$\tan \left(\pi /6\right)=\tan \left(30^{\circ }\right)=\cot \left(\pi /3\right)=\cot \left(60^{\circ }\right)={1 \over {\sqrt {3}}}\,.$

Dei eksakte verdiane av sinus for vinklane 0°, 30°, 45°, 60° og 90° kan lett hugsast som ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {0}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}},{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {4}}$. Den tilsvarande rekka for cosinus er rekka for sinus baklengs, og tangens er som nemnt sinus delt på cosinus.

Inverse funksjonar

Dei trigonometriske funksjonene er periodiske, og derfor ikkje injektive, så dei har strengt tatt ikkje ein invers funksjon. For å definere ein invers funksjon må vi avgrense definisjonsmengda så den trigonometriske funksjonen blir bijektiv. I det følgjande er funksjonane til venstre definert ved likninga til høgre; desse er ikkje beviste identitetar. Dei viktigaste inverse funksjonane er vanlegvis definerte som:

${\begin{matrix}{\text{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},&y=\arcsin x&{\text{viss}}&x=\sin y\,;\\\\{\text{for}}&0\leq y\leq \pi ,&y=\arccos x&{\text{viss}}&x=\cos y\,;\\\\{\text{for}}&-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}},&y=\arctan x&{\text{viss}}&x=\tan y\,;\\\\{\text{for}}&-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}},y\neq 0,&y=\operatorname {arccsc} x&{\text{viss}}&x=\csc y\,;\\\\{\text{for}}&0\leq y\leq \pi ,y\neq {\frac {\pi }{2}},&y=\operatorname {arcsec} x&{\text{viss}}&x=\sec y\,;\\\\{\text{for}}&0<y<\pi ,&y=\operatorname {arccot} x&{\text{viss}}&x=\cot y\,.\end{matrix}}$

For inverse trigonometriske funksjonar blir skrivemåtane sin⁻¹ og cos⁻¹ ofte brukt for arcsin, arccos osv.

Akkurat som sinus og cosinus, kan dei inverse trigonometriske funksjonane òg defineres som uendelege rekkjer. Til dømes,

$\arcsin z=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \,.$

Desse funksjonene kan òg definerast ved å bevise at dei er antideriverte av andre funksjoner. Funksjonen arcsin kan til dømes skrivast som følgjande integral:

$\arcsin z=\int _{0}^{z}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,\quad |z|<1\,.$

Analoge formlar for andre funksjonar kan finnast på Inverse trigonometriske funksjonar. Ved å bruke den komplekse logaritmen kan ein generalisere alle desse funksjonene til komplekse argument:

$\arcsin z=-i\log \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)\,,$

$\arccos z=-i\log \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\,,$

$\arctan z={\frac {i}{2}}\log \left({\frac {1-iz}{1+iz}}\right)\,.$

Eigenskapar og bruk

Sinussetninga

Sinussetninga seier at for ein vilkårleg trekant med sider a, b og c og vinklar A, B og C der a er motstående til A osv.:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}\,,$

eller, på same måte,

${\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}=2R\,,$

der R er radius til den omskrivne sirkelen til trekanten.

Den kan bevisast ved å dele trekanten inn i to rettvinkla trekantar og bruke definisjonen av sinus.

Cosinussetninga

Cosinussetninga er ei utviding av Pythagoras’ læresetning:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C\,,$

òg kjent som

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,.$

I denne formelen er vinkel C motståande til side c. Denne setninga kan bevisast ved å dele trekanten inn i to rettvinkla trekantar og bruke Pythagoras’ læresetning.

For å bruke cosinussetninga må vi kjenne tre opplysningar (vinklar/sidelengder) om trekanten, deriblant minst éi side.

Andre nyttige eigenskapar

Tangenssetninga finst òg:

${\frac {a+b}{a-b}}={\frac {\tan \left[{\frac {1}{2}}(A+B)\right]}{\tan \left[{\frac {1}{2}}(A-B)\right]}}\,.$

Periodiske funksjonar

Animasjon av kunstig framstilling av ei firkantbølgje med aukande mengd harmoniske bølgjer

Trigonometriske funksjonar er nyttige i studien av generelle periodiske funksjonar. Desse funksjonane har karakteristiske bølgjeformer som grafar, og er nyttige for å modellere gjentakande fenomen slik som lydar eller lysbølgjer. Kvart signal kan skrivast som ein (vanlegvis uendeleg) sum av sinus- og cosinusfunksjonar av ulike frekvensar; dette er den grunnleggjande ideen i fourieranalyse. Firkantbølgja kan t.d. skrivast som Fourier-rekkja

$x_{\mathrm {rot} }(t)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\sin {\left((2k-1)t\right)} \over (2k-1)}.$

I animasjonen til høgre framgår det at berre nokre få ledd alt lagar ei ganske god tilnærming.

Historie

Kordefunksjonen vart oppdaga av Hipparkhos frå Nikea (180–125 f.Kr.) og Ptolemaios frå Egypt (90–165 e.Kr.). Sinus- og cosinusfunksjonane vart oppdaga av Aryabhata (476–550) og studert av Varahamihira og Brahmagupta. Tangensfunksjonen vart oppdaga av Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (780–850), og secans-, cotangens- og cosecansfunksjonene vart oppdaga av Abū al-Wafā’ al-Būzjānī (940–998). Alle dei seks trigonometriske funksjonane vart så studert av Omar Khayyám, Bhaskara, Nasir al-Alen din-Tusi, Ghiyath al-Kashi (1300-talet), Ulugh Beg (1300-talet), Regiomontanus (1464), Rheticus og studenten til Rheticus, Valentin Otho.

Madhava fra Sangamagramma (ca. 1400) gjorde tidleg arbeid i analysen av trigonometriske funksjonar som uendelege rekkjer. Leonhard Euler sin Introductio in analysin infinitorum (1748) hadde stor innverknad for at analytisk handsaming av trigonometriske funksjoner i Europa kom i gang, og han definerte dei òg som uendelege rekkjer og presenterte Eulers formel i tillegg til dei nesten-moderne forkortingane sin., cos., tang., cot., sec., og cosec.

Etymologisk sett stammar ordet sinus frå ordet jya-ardha (sanskrit), som tyder «halvkorde», forkorta til jiva. Dette vart translitterert i arabisk som jiba, skrive jb, i det vokalane ikkje vart skrive på arabisk. Så vart denne translitterasjonen feilomsett på 1100-talet til latin som sinus, ved at jb vart anteke å stå for ordet jaib, som tyder «bukt» eller «fold» på arabisk, som òg sinus gjer på Latin. Ordet tangens er latin og tyder «rørande», sidan linja «rører» einingssirkelen, medan secant kjem frå secans – «kuttande» – sidan linja kuttar sirkelen.

Dei moderne namna på funksjonane tangens og secans vart innført av den dansken matematikaren Thomas Fincke i hans Geometriæ rotundi (1583).

Sjå òg

• Utrekning av trigonometriske tabellar
• Hyperbolsk funksjon
• Pythagoras’ læresetning
• Einingsvektor
• Trigonometriske identitetar
• Bevis for trigonometriske identitetar
• Eulers formel

Kjelder

• Denne artikkelen bygger på «Trigonometriske funksjoner» frå Wikipedia på bokmål, den 19. september 2011.
  • Wikipedia på bokmål oppgav desse kjeldene:
• Abramowitz, Milton and Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Dover, New York. (1964). ISBN 0-486-61272-4.
• Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
• Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
• Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
• Kantabutra, Vitit, ”On hardware for computing exponential and trigonometric functions,” IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
• Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.
• Needham, Tristan, ”Preface” Arkivert 2004-06-02 ved Wayback Machine. to Visual Complex Analysis Arkivert 2008-06-07 ved Wayback Machine.. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
• O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, ”Trigonometric functions”, MacTutor History of Mathematics Archive. (1996).
• O’Connor, J.J., and E.F. Robertson, ”Madhava of Sangamagramma”, MacTutor History of Mathematics Archive. (2000).
• Pearce, Ian G., ”Madhava of Sangamagramma” Arkivert 2006-05-05 ved Wayback Machine., MacTutor History of Mathematics Archive. (2002).
• Weisstein, Eric W., ”Tangent” from MathWorld, accessed 21 January 2006.

Bakgrunnsstoff

• Visionlearning Module on Wave Mathematics
• GonioLab Arkivert 2007-10-06 ved Wayback Machine.: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
• Dave's draggable diagram. (Requires java browser plugin)